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5.2.1 : Résoudre les problèmes de pourcentage


Objectifs d'apprentissage

  • Identifiez le montant, la base et le pourcentage dans un problème de pourcentage.
  • Trouvez l'inconnu dans un problème de pourcentage.

Les pourcentages sont un rapport entre un nombre et 100, ils sont donc plus faciles à comparer que les fractions, car ils ont toujours le même dénominateur, 100. Un magasin peut avoir une réduction de 10 %. Le montant économisé est toujours la même portion ou fraction du prix, mais un prix plus élevé signifie que plus d'argent est retiré. Les taux d'intérêt sur un compte d'épargne fonctionnent de la même manière. Plus vous mettez d'argent sur votre compte, plus vous obtenez d'argent en intérêts. Il est utile de comprendre comment ces pourcentages sont calculés.

Jeff a un coupon au Guitar Store pour 15 % de rabais sur tout achat de 100 $ ou plus. Il veut acheter une guitare d'occasion dont le prix est de 220 $. Jeff se demande combien d'argent le coupon retirera du prix initial de 220 $.

Les problèmes impliquant des pourcentages ont trois quantités avec lesquelles travailler : le pour cent, les montant, et le base.

Le pourcentage a le symbole de pourcentage (%) ou le mot « pourcentage ». Dans le problème ci-dessus, 15 % est le pourcentage de réduction sur le prix d'achat.

La base est le montant total. Dans le problème ci-dessus, le prix total de la guitare est de 220 $, ce qui est la base.

Le montant est le nombre qui se rapporte au pourcentage. Il fait toujours partie du tout. Dans le problème ci-dessus, le montant est inconnu. Puisque le pourcentage est le pourcentage désactivé, le montant sera le montant désactivé du prix.

Vous reviendrez sur ce problème un peu plus tard. Les exemples suivants montrent comment identifier les trois parties : le pourcentage, la base et le montant.

Exemple

Identifiez le pourcentage, le montant et la base de ce problème.

30 est 20% de quel nombre?

Solution

Pour cent: Le pourcentage est le nombre avec le symbole % : 20 %.

Base: La base est le montant total, qui dans ce cas est inconnu.

Montant: Le montant basé sur le pourcentage est de 30.

Réponse:

Pourcentage=20 %

Montant=30

Base=inconnu

Le problème précédent indique que 30 est une partie d'un autre nombre. Cela signifie que 30 est le montant. Notez que ce problème pourrait être réécrit : 20% de quel nombre fait 30 ?

Exercer

Identifiez le pourcentage, la base et le montant dans ce problème :

Quel pourcentage de 30 fait 3 ?

Réponse

Le pourcentage est inconnu, car le problème indique "Quoi pour cent?" La base est le tout dans la situation, donc la base est 30. Le montant est la partie du tout, qui est 3 dans ce cas.

Les problèmes de pourcentage peuvent être résolus en écrivant équations. Une équation utilise un signe égal (=) pour montrer que deux expressions mathématiques ont la même valeur.

Les pourcentages sont des fractions, et tout comme les fractions, lorsque vous trouvez un pourcentage (ou une fraction, ou une portion) d'un autre montant, vous multipliez.

Le pourcentage de la base est le montant.

Pour cent de la Base est le Montant.

( ext { Pourcentage } {color{red}cdot} ext { Base }{color{blue}=} ext { Montant })

Dans les exemples ci-dessous, l'inconnu est représenté par la lettre ( n). L'inconnu peut être représenté par n'importe quelle lettre ou une case (carré) ou même un point d'interrogation.

Exemple

Écris une équation qui représente le problème suivant.

30 est 20% de quel nombre?

Solution

20% de quel nombre fait 30 ?Réécrivez le problème sous la forme « pourcentage de la base est le montant ».

Le pourcentage est : 20 %

La base est : inconnue

Le montant est : 30

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.

( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant })

( 20 \% cdot n=30)

Écrivez l'équation du pourcentage. en utilisant ( n) pour la base, qui est la valeur inconnue.

( 20 \% cdot n=30)

Une fois que vous avez une équation, vous pouvez la résoudre et trouver la valeur inconnue. Pour ce faire, réfléchissez à la relation entre la multiplication et la division. Regardez les paires de faits de multiplication et de division ci-dessous, et cherchez une régularité dans chaque ligne.

MultiplicationDivision
( 2 cdot 3=6)( 6 div 2=3)
( 8 cdot 5=40)( 40 div 8=5)
( 7 cdot 4=28)( 28 div 7=4)
( 6 cdot 9=54)( 54 div 6=9)

La multiplication et la division sont des opérations inverses. Ce que l'un fait à un nombre, l'autre le « défait ».

Lorsque vous avez une équation telle que ( 20 \% cdot n=30), vous pouvez diviser 30 par 20 % pour trouver l'inconnue : ( n=30 div 20 \%).

Vous pouvez résoudre ce problème en écrivant le pourcentage sous forme décimale ou fractionnaire, puis en divisant.

( n=30 div 20 \%=30 div 0.20=150)

Exemple

Quel pourcentage de 72 vaut 9 ?

Solution

Pourcentage : inconnu

Base : 72

Montant : 9

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.
( n cdot 72=9)Écrivez l'équation de pourcentage : ( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant }). Utilisez ( n) pour l'inconnu (pourcentage).
( n=9 div 72)Diviser pour annuler la multiplication de ( n) fois 72.
( egin{tableau}{r}
0.125 \
72longdiv{9000}
end{tableau})
Divisez 9 par 72 pour trouver la valeur de ( n), l'inconnu.

( n=0.125)

( n=12,5 \%)

Déplacez la virgule décimale de deux positions vers la droite pour écrire la décimale en pourcentage.

( 12,5 \% ext { of } 72 ext { is } 9).

Vous pouvez estimer pour voir si la réponse est raisonnable. Utilisez 10 % et 20 %, des nombres proches de 12,5 %, pour voir s'ils vous rapprochent de la réponse.

( 10 \% ext { of } 72=0.1 cdot 72=7.2)

( 20 \% ext { of } 72=0.2 cdot 72=14.4)

Notez que 9 est compris entre 7,2 et 14,4, donc 12,5 % est raisonnable puisqu'il est compris entre 10 % et 20 %.

Exemple

Qu'est-ce que 110% de 24?

Solution

Pourcentage : 110 %

Base : 24

Montant : inconnu

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.
( 110 \% cdot 24=n)

Écrivez l'équation du pourcentage.

( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant }).

Le montant est inconnu, utilisez donc ( n).

( 1.10 cdot 24=n)Écrivez le pourcentage sous forme décimale en déplaçant le point décimal de deux positions vers la gauche.
( 1.10 cdot 24=26.4=n)Multipliez 24 par 1,10 ou 1,1.

( 26.4 ext { est } 110 \% ext { de } 24).

Ce problème est un peu plus facile à estimer. 100 % de 24 vaut 24. Et 110 % est un peu plus que 24. Donc, 26,4 est une réponse raisonnable.

Exercer

18 est quel pour cent de 48?

  1. ( 0.375 \%)
  2. ( 8.64 \%)
  3. ( 37.5 \%)
  4. ( 864 \%)
Réponse
  1. ( 0.375 \%)

    Incorrect. Vous avez peut-être calculé correctement, mais vous avez oublié de déplacer la virgule lorsque vous avez réécrit votre réponse en pourcentage. L'équation de ce problème est ( n cdot 48=18). La division correspondante est ( 18 div 48), donc ( n=0.375). La réécriture de cette décimale en pourcentage donne la bonne réponse, ( 37,5 \%).

  2. ( 8.64 \%)

    Incorrect. Vous avez peut-être utilisé ( 18) ou ( 48) comme pourcentage, plutôt que le montant ou la base. L'équation de ce problème est ( n cdot 48=18). La division correspondante est ( 18 div 48), donc ( n=0.375). La réécriture de cette décimale en pourcentage donne la bonne réponse, ( 37,5 \%).

  3. ( 37.5 \%)

    Correct. L'équation de ce problème est ( n cdot 48=18). La division correspondante est ( 18 div 48), donc ( n=0.375). La réécriture de cette décimale en pourcentage donne ( 37,5 \%).

  4. ( 864 \%)

    Incorrect. Vous avez probablement utilisé 18 ou 48 comme pourcentage, plutôt que le montant ou la base, et vous avez également oublié de réécrire le pourcentage sous forme de nombre décimal avant de multiplier. L'équation de ce problème est ( n cdot 48=18). La division correspondante est ( 18 div 48), donc ( n=0.375). La réécriture de cette décimale en pourcentage donne la bonne réponse, ( 37,5 \%).

Les problèmes de pourcentage peuvent également être résolus en écrivant un proportion. Une proportion est une équation qui définit deux rapports ou fractions égaux l'un à l'autre. Avec les problèmes de pourcentage, l'un des ratios est le pourcentage, écrit ( frac{n}{100}). L'autre ratio est le montant par rapport à la base.

( ext { Pourcentage }=frac{ ext { montant }}{ ext { base }})

Exemple

Écris une proportion pour trouver la réponse à la question suivante.

30 est 20% de quel nombre?

Solution

( frac{20}{100}=frac{ ext { montant }}{ ext { base }})Le pourcentage dans ce problème est de 20 %. Écrivez ce pourcentage sous forme fractionnaire, avec 100 comme dénominateur.
( frac{20}{100}=frac{30}{n})Le pourcentage s'écrit sous la forme du rapport ( frac{20}{100}), le montant est de 30 et la base est inconnue.
( egin{tableau}{r}
20 cdot n=30 cdot 100
20 cdot n=3.000
n=3000 div 20
n=150
end{tableau})
Multipliez et résolvez pour l'inconnu, ( n), en divisant 3 000 par 20.

30 est 20 % de 150.

Exemple

Quel pourcentage de 72 vaut 9 ?

Solution

( egin{tableau}{r}
ext { Pourcentage }=frac{ ext { montant }}{ ext { base }}
frac{n}{100}=frac{9}{72}
end{tableau})
Le pourcentage est le rapport de ( n) à 100. Le montant est 9 et la base est 72.
( egin{tableau}{r}
n cdot 72=9 cdot 100
n cdot 72=900
n=900 div 72
n=12,5
end{tableau})
Multipliez et résolvez pour ( n) en divisant 900 par 72.
( 12,5 \% ext { of } 72 ext { is } 9)Le pourcentage est ( frac{12,5}{100}=12,5 \%).

Exemple

Qu'est-ce que 110% de 24?

Solution

( egin{tableau}{l}
ext { Pourcentage }=frac{ ext { montant }}{ ext { base }}
frac{110}{100}=frac{n}{24}
end{tableau})
Le pourcentage est le rapport ( frac{110}{100}). Le montant est inconnu et la base est de 24.
( egin{tableau}{r}
24 cdot 110=100 cdot n
2 640 div 100=n
26,4=n
end{tableau})
Multipliez et résolvez pour ( n) en divisant 2 640 par 100.
( 26.4 ext { est } 110 \% ext { of } 24)

Exercer

18 est 125% de quel nombre ?

  1. ( 0.144)
  2. ( 14.4)
  3. ( 22.5)
  4. ( 694 frac{4}{9}) (ou environ ( 694,4))
Réponse
  1. ( 0.144)

    Incorrect. Vous n'avez probablement pas écrit de proportion et vous avez juste divisé 18 par 125. Ou, vous avez incorrectement défini une fraction comme ( frac{18}{125}) et l'avez définie égale à la base, ( n ). Le pourcentage dans ce cas est de 125 %, donc une fraction dans la proportion doit être ( frac{125}{100}). La base est inconnue et le montant est 18, donc l'autre fraction est ( frac{18}{n}). La résolution de la proportion ( frac{125}{100}=frac{18}{n}) donne ( n=14,4).

  2. ( 14.4)

    Correct. Le pourcentage dans ce cas est de 125 %, donc une fraction dans la proportion doit être ( frac{125}{100}). La base est inconnue et le montant est 18, donc l'autre fraction est ( frac{18}{n}). La résolution de la proportion ( frac{125}{100}=frac{18}{n}) donne ( n=14,4).

  3. ( 22.5)

    Incorrect. Vous mettez probablement le montant (18) sur 100 dans la proportion plutôt que le pourcentage (125). Vous pensiez peut-être que 18 était le pourcentage et 125 était la base. La fraction de pourcentage correcte pour la proportion est ( frac{125}{100}). La base est inconnue et le montant est 18, donc l'autre fraction est ( frac{18}{n}). La résolution de la proportion ( frac{125}{100}=frac{18}{n}) donne ( n=14,4).

  4. ( 694 frac{4}{9}) (ou environ ( 694,4))

    Incorrect. Vous avez probablement confondu le montant (18) avec le pourcentage (125) lorsque vous avez défini la proportion. La fraction de pourcentage correcte pour la proportion est ( frac{125}{100}). La base est inconnue et le montant est 18, donc l'autre fraction est ( frac{18}{n}). La résolution de la proportion ( frac{125}{100}=frac{18}{n}) donne ( n=14,4).

Revenons au problème qui a été posé au début. Vous pouvez maintenant résoudre ce problème comme illustré dans l'exemple suivant.

Exemple

Jeff a un coupon au Guitar Store pour 15 % de rabais sur tout achat de 100 $ ou plus. Jeff se demande combien d'argent le coupon retirera du prix d'origine de 220 $.

Solution

Combien font 15 % de 220 $ ?Simplifiez les problèmes en éliminant les mots supplémentaires.

Pourcentage : 15 %

Base : 220

Montant : ( n)

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.
( 15 \% cdot 220=n)

Écrivez l'équation du pourcentage.

( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant })

( 0,15 cdot 220=33)Convertissez 15 % en 0,15, puis multipliez par 220. 15 % de 220 $ équivaut à 33 $.

Le coupon enlèvera 33 $ sur le prix d'origine.

Vous pouvez estimer pour voir si la réponse est raisonnable. Puisque 15 % est à mi-chemin entre 10 % et 20 %, trouvez ces chiffres.

( egin{tableau}{l}
10 \% ext { of } 220=0.1 cdot 220=22
20 \% ext { of } 220=0.2 cdot 220=44
end{tableau})

La réponse, 33, se situe entre 22 et 44. Donc 33 $ semble raisonnable.

Il existe de nombreuses autres situations qui impliquent des pourcentages. Voici quelques-uns.

Exemple

Evelyn a acheté des livres à la librairie locale. Sa facture totale s'élevait à 31,50 $, taxes de 5 % comprises. Combien coûtaient les livres avant impôt ?

Solution

Quel nombre +5% de ce nombre vaut 31,50 $ ?Dans ce problème, vous savez que la taxe de 5% est ajoutée sur le coût des livres. Donc, si le coût des livres est de 100 %, le coût plus taxes est de 105 %.

105% de quel nombre = 31,50 ?

Pourcentage : 105 %

Base : ( n)

Montant : 31,50

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.
( 105 \% cdot n=31.50)

Écrivez l'équation du pourcentage.

( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant }).

( 1,05 cdot n=31,50)Convertissez 105 % en nombre décimal.
( n=31.50 div 1.05=30)Diviser pour annuler la multiplication de ( n) fois 1,05.

Les livres coûtent 30 $ avant taxes.

Exemple

Susana a travaillé 20 heures à son travail la semaine dernière. Cette semaine, elle a travaillé 35 heures. En pourcentage, combien a-t-elle travaillé de plus cette semaine que la semaine dernière ?

Solution

35 est quel pour cent de 20?Simplifiez le problème en éliminant les mots supplémentaires.

Pourcentage : ( n)

Base : 20

Montant : 35

Identifiez le pourcentage, la base et le montant.
( n cdot 20=35)

Écrivez l'équation du pourcentage.

( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant }).

( n=35 div 20)Diviser pour annuler la multiplication de ( n) fois 20.
( n=1.75=175 \%)Convertissez 1,75 en pour cent.

Comme 35 équivaut à 175 % de 20, Susana a travaillé 75 % de plus cette semaine que la semaine dernière. (Vous pouvez penser à ceci comme : « Susana a travaillé 100 % des heures qu'elle a travaillées la semaine dernière, ainsi que 75 % de plus. »)

Les problèmes de pourcentage ont trois parties : le pourcentage, la base (ou l'ensemble) et le montant. N'importe laquelle de ces parties peut être la valeur inconnue à trouver. Pour résoudre les problèmes de pourcentage, vous pouvez utiliser l'équation ( ext { Pourcentage } cdot ext { Base }= ext { Montant }) et résoudre les nombres inconnus. Ou, vous pouvez définir la proportion, ( ext { Pourcentage }=frac{ ext { montant }}{ ext { base }}), où le pourcentage est un rapport d'un nombre à 100. Vous peut alors utiliser la multiplication croisée pour résoudre la proportion.


5.2.1 : Résoudre les problèmes de pourcentage

LES CAS À TROIS POURCENTAGES

Pour expliquer les cas qui se posent dans les problèmes impliquant des pourcentages, il est nécessaire de définir les termes qui seront utilisés. Le taux (r) est le nombre de centièmes de parties prises. Il s'agit du nombre suivi du signe de pourcentage. La base (b) est l'ensemble sur lequel opère le taux. Le pourcentage (p) est la partie de la base déterminée par le taux. Dans l'exemple

5% est le taux, 40 est la base et 2 est le pourcentage.

Il y a trois cas qui se présentent habituellement en traitant du pourcentage, comme suit :

Cas I-Pour trouver le pourcentage lorsque la base et le taux sont connus.

EXEMPLE : Quel nombre correspond à 6 % de 50 ?

Cas II- Pour trouver le taux lorsque la base et le pourcentage sont connus.

EXEMPLE : 20 est quel pour cent de 60 ?

Cas III- Pour trouver la base lorsque le pourcentage et le taux sont connus.

EXEMPLE : Le nombre 5 est 25% de quel nombre ?

le "of" a la même signification que dans les exemples fractionnaires, tels que

En d'autres termes, "of" signifie multiplier. Ainsi, pour trouver le pourcentage, multipliez la base par le taux. Bien sûr, le taux doit être modifié d'un pourcentage à une décimale avant que la multiplication puisse être effectuée. Le taux multiplié par la base est égal au pourcentage.

Le nombre qui est de 6 % de 50 est 3.

POURCENTAGES FRACTIONNELS.-Un pourcentage fractionnaire représente une partie de 1 pour cent. Dans un cas comme celui-ci, il est parfois plus facile de trouver 1 pour cent du nombre, puis de trouver la partie fractionnaire. Par exemple, nous trouverions 1/4 pour cent de 840 comme suit :

Pour expliquer les cas II et III, on remarque dans l'exemple précédent que la base correspond au multiplicande, le taux correspond au multiplicateur, et le pourcentage correspond au produit.

En rappelant que le produit divisé par l'un de ses facteurs donne l'autre facteur, on peut résoudre le problème suivant :

On nous donne la base (60) et le pourcentage (20).

Nous divisons ensuite le produit (pourcentage) par le multiplicande (base) pour obtenir l'autre facteur (taux). Le pourcentage divisé par la base est égal au taux. Le taux se trouve comme suit :

La règle pour le cas II, illustrée dans le problème précédent, est la suivante : Pour trouver le taux lorsque le pourcentage et la base sont connus, divisez le pourcentage par la base. Écrivez d'abord le quotient sous forme décimale, puis en pourcentage.

Le facteur inconnu dans le cas III est la base, et le taux et le pourcentage sont connus.

Nous divisons le produit par son facteur connu pour trouver l'autre facteur. Le pourcentage divisé par le taux est égal à la base. Ainsi,

La règle pour le cas III peut être énoncée comme suit : Pour trouver le patron lorsque le taux et le pourcentage sont connus, divisez le pourcentage par le taux.

Problèmes de pratique. Dans chacun des problèmes suivants, déterminez quel cas est impliqué puis trouvez la réponse.

1. Qu'est-ce que 3/4 % de 740 ?
2. 7.5% de 2.75 = ?
3. 8 est 2% de quel nombre ?
4. ?% de 18 = 15.
5. 12% de ? = 12.
6. 8 est quel pour cent de 32?

1. Cas I 5.55
2. Cas I 0,20625
3. Cas III 400
4. Cas II 83 1/3%
5. Cas III 100
6. Cas II 25%


Problèmes de fractions de mots - Intermédiaire

Leçons sur la résolution de problèmes de mots fractionnaires à l'aide de méthodes visuelles telles que des modèles de barres, des diagrammes de blocs ou des diagrammes de bande

Voici quelques exemples de problèmes de mots fractionnaires. Les vidéos illustreront comment utiliser la méthode des diagrammes (Singapore Math) pour résoudre des problèmes de mots.

Problème de fraction de collège

Exemple:
Alex, Betty et Chris échangent des billes. Tout d'abord, Alex donne à Betty 1/2 de ses billes. Ensuite, Betty donne à Chris 1/3 de ses billes. Enfin, Chris donne 2 billes à Alex. Si tout le monde finit avec 12 billes, avec combien de billes chaque personne a-t-elle commencé ?

Exemple:
Iona a commencé avec une certaine somme d'argent. Elle a dépensé 2/5 de son argent. Elle a gagné 5 $ le lendemain. Plus tard, elle a perdu 3/7 de son argent, mais il lui restait encore 20 $.

  1. Il y a 96 enfants dans une bibliothèque. 5/8 d'entre elles sont des filles. Combien d'entre eux sont des garçons ?
  2. David avait 40 $. Elle a dépensé 1/5 de l'argent sur un livre de contes et 3/10 sur une calculatrice. Combien a-t-il dépensé en tout ?
  3. Scott avait des œufs. Il en a vendu 5/8. S'il a vendu 300 œufs, combien d'œufs avait-il au début ?

Exemples:
Al a reçu de l'argent de sa grand-mère. Al a dépensé 50 $ et a donné 1/3 de ce qui restait à Bob. Bob a dépensé 2 $ et a donné les 3/4 de ce qui restait à Carl. Carl a dépensé 6 $ et a donné les 3/5 de ce qui restait à Dan. Si Dan a reçu 27 $ de Carl, combien d'argent Al a-t-il reçu de sa grand-mère ?

Exemples:
Il y avait plusieurs pélicans se prélassant au soleil. 2/5 des pélicans étaient bruns et le reste était blanc. Après que certains des pélicans bruns se soient envolés, seuls 3/10 des pélicans restants étaient bruns. Après que certains des pélicans blancs se soient envolés, la fraction des pélicans blancs est devenue les 2/3. Si la différence entre le nombre de pélicans bruns qui se sont envolés et le nombre de pélicans blancs qui se sont envolés était de 18, combien de pélicans bruns se prélassaient au soleil à l'origine ?

Fraction de somme de mathématiques de sixième année et valeur du prix

La somme mathématique PSLE ​​impliquant la fraction et la valeur du prix utilise la méthode du modèle.

Exemples:
Jack a acheté des gommes, des crayons et des règles. 1/6 d'entre elles étaient des gommes. Le nombre de crayons qu'il a acheté était de 5 plus 1/2 le nombre total de tous les articles et les autres étaient des règles. Chacune des gommes, crayons et règles coûte respectivement 2,20 $, 3,45 $ et 1,70 $. Il a dépensé un total de 519,15 $ sur tous les articles. Combien de crayons de plus que de gommes Jack a-t-il acheté ?

Division de la fraction par problème de nombre entier à l'aide de modèles visuels

6.NS.1 - Division de la fraction par le problème des nombres entiers (mathématiques de Singapour).

Exemple: 3/4 gallons de pâte à gâteau sont versés également dans 2 bols. Combien de gallons y a-t-il dans chaque bol ?

Division d'un nombre entier par fraction de problème de mot à l'aide de modèles visuels

6.NS.1 - Division d'un nombre entier par un problème de mot fraction.

Exemple: Benjamin a 9 tasses de sucre. Si c'est 3/4 du nombre dont il a besoin pour faire du gâteau, de combien de tasses a-t-il besoin ?

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Gérer les conflits : problèmes résolubles ou problèmes perpétuels

Connaître la différence entre les types de problèmes que tous les couples ont est la clé pour éviter les embouteillages.

Connaître la différence entre les types de problèmes que tous les couples ont est la clé pour éviter les embouteillages.

Connaître la différence entre les types de problèmes que tous les couples ont est la clé pour éviter les embouteillages.

Lorsqu'on pense à un conflit dans une relation, il est important de déterminer si un problème est résolu ou perpétuel. Soixante-neuf pour cent des conflits relationnels concernent des problèmes perpétuels. Tous les couples en ont. Ces problèmes sont ancrés dans les différences fondamentales auxquelles deux personnes sont confrontées. Ce sont soit des différences fondamentales dans vos personnalités qui créent à plusieurs reprises des conflits, soit des différences fondamentales dans vos besoins de style de vie.

Au lieu de résoudre des problèmes perpétuels, ce qui semble important, c'est de savoir si un couple peut ou non établir un dialogue à leur sujet. S'ils ne peuvent pas établir un tel dialogue, le conflit devient bloqué et le conflit bloqué mène finalement à un désengagement émotionnel. Dans le post d'aujourd'hui, nous voulons profiter de l'occasion pour expliquer la différence entre un problème résoluble, un problème perpétuel et un problème perpétuel bloqué.

  • Problèmes résolvables peut concerner le ménage, la discipline des enfants, le sexe et la belle-famille. Les problèmes pouvant être résolus pour un couple peuvent concerner exactement les mêmes sujets qui pourraient être des problèmes perpétuels pour un couple différent. Un problème résoluble dans une relation concerne quelque chose de situationnel. Le conflit concerne simplement ce sujet, et il se peut qu'il n'y ait pas de sens plus profond derrière la position de chaque partenaire. Une solution peut être trouvée et maintenue.
  • Problèmes perpétuels sont des problèmes qui se concentrent soit sur des différences fondamentales dans vos personnalités, soit sur des différences fondamentales dans vos besoins de style de vie. Tous les couples ont des problèmes perpétuels. Ces problèmes peuvent apparemment concerner exactement les mêmes sujets que ceux qui pourraient être résolus pour un autre couple. Cependant, contrairement à un problème résoluble, ce sont les problèmes sur lesquels un couple reviendra encore et encore.
  • Problèmes perpétuels bloqués sont des problèmes perpétuels qui ont été mal gérés et qui se sont essentiellement calcifiés en quelque chose d'"inconfortable". La nature de l'impasse est que des agendas cachés sous-tendent le problème.

La méthode Gottman se concentre sur le renforcement de l'intelligence émotionnelle et le développement des compétences pour gérer les conflits et améliorer l'amitié pour aider les couples à créer un système de sens partagé dans votre relation. Ce qui compte, ce n'est pas de résoudre des problèmes perpétuels, mais plutôt de affecter avec lesquels ils sont discutés. L'objectif devrait être d'établir un dialogue sur le problème perpétuel qui communique l'acceptation de votre partenaire avec humour, affection et même amusement, pour faire face activement au problème insoluble, plutôt que de le laisser tomber dans l'impasse. Les discussions bloquées ne conduisent qu'à des échanges douloureux ou à un silence glacial, et impliquent presque toujours les Quatre Cavaliers (critique, mépris, blocage et défensive).

Apprenez à reconnaître si un problème perpétuel dans votre relation est devenu bloqué dans notre prochain article de blog, que vous pouvez lire ici.

Si vous souhaitez construire une relation profondément significative, pleine de confiance et d'intimité, alors abonnez-vous ci-dessous pour recevoir nos articles de blog directement dans votre boîte de réception :


Résoudre les problèmes de mélange

Nous vous recommandons d'utiliser un tableau pour organiser vos informations pour les problèmes de mélange. L'utilisation d'un tableau vous permet de penser à un nombre à la fois au lieu d'essayer de gérer tout le problème du mélange à la fois.

Remplacement de la solution

Un réservoir a une capacité de 10 gallons. Lorsqu'il est plein, il contient 15 % d'alcool. Combien de gallons doivent être remplacés par une solution d'alcool à 80 % pour donner 10 gallons de solution à 70 % ?

Mettre en place une table pour l'alcool. L'alcool est remplacé, c'est-à-dire retiré et ajouté.

Problèmes de mélange
Certains problèmes de mots utilisant des systèmes d'équations impliquent de mélanger deux quantités avec des prix différents. Pour résoudre des problèmes de mélange, connaissance de la résolution de systèmes d'équations. est nécessaire. Le plus souvent, ces problèmes auront deux variables, mais les problèmes plus avancés ont des systèmes d'équations à trois variables. D'autres types de problèmes de mots utilisant des systèmes d'équations comprennent les problèmes de mots de taux et les problèmes de mots de travail.

Résoudre un problème de mélange à l'aide d'un système d'équations.
Nous mettons en place et résolvons un problème de mélange à l'aide d'un système d'équations à deux variables. Avant de résoudre le problème, une brève introduction à ce qu'est une -solution- en parlant d'un mélange chimique.
Exemple : Un chimiste mélange une solution acide à 12 % avec une solution acide à 20 % pour produire 300 millilitres d'une solution acide à 18 %. Combien de millilitres de chaque solution le chimiste utilise-t-il ?

Essayez la calculatrice Mathway gratuite et le résolveur de problèmes ci-dessous pour pratiquer divers sujets mathématiques. Essayez les exemples donnés ou saisissez votre propre problème et vérifiez votre réponse avec les explications étape par étape.

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5.2.1 : Résoudre les problèmes de pourcentage

"Pourcentage" des problèmes de mots :
Exemples de balisage et de démarques
(page 2 de 3)

Une catégorie importante d'exercices de pourcentage est constituée par les problèmes de balisage et de démarque. Pour ceux-ci, vous calculez la majoration ou la démarque en termes absolus (vous trouvez de combien la quantité a changé), puis vous calculez le pourcentage de changement par rapport à la valeur d'origine. Donc, ce ne sont vraiment qu'une autre forme d'exercices "d'augmentation - de diminution".

  • Un détaillant de logiciels informatiques a utilisé un taux de majoration de 40 %. Trouvez le prix de vente d'un jeu informatique qui a coûté 25 $ au détaillant.

La majoration est de 40 % du coût de 25 $, donc la majoration est :

Ensuite, le prix de vente, étant le coût plus la majoration, est :

  • Un magasin de golf paie 40 $ à son grossiste pour un certain club, puis le vend à un golfeur pour 75 $ . Quel est le taux de majoration ?

Tout d'abord, je vais calculer le balisage en termes absolus :

Ensuite, je trouverai la majoration relative par rapport au prix d'origine, ou le taux de majoration : (35 $) est (quelque pour cent) de (40 $) , ou : Copyright © Elizabeth Stapel 1999-2011 Tous droits réservés

. la majoration relative par rapport au prix d'origine est donc :

Depuis X représente un pourcentage, je dois me rappeler de convertir cette valeur décimale en pourcentage correspondant.

Le taux de majoration est de 87,5%.

  • Un magasin de chaussures utilise une majoration de 40 % sur le coût. Trouvez le prix d'une paire de chaussures qui se vend 63 $.

Ce problème est un peu en arrière. Ils m'ont donné le prix de vente, c'est-à-dire le coût plus la majoration, et ils m'ont donné le taux de majoration, mais ils ne m'ont pas dit le coût réel ou la majoration. Je dois donc être intelligent pour résoudre ce problème.

je vais laisser " X " être le coût. Ensuite, la majoration, représentant 40% du coût, est de 0,40X . Et le prix de vente de 63 $ est la somme du coût et de la majoration, donc :

63 = X + 0.40X
63 = 1X + 0.40X
63 = 1.40X
63 &diviser 1,40 = X= 45

Les chaussures coûtent 45 $ au magasin.

D'abord, je vais trouver la démarque. La démarque est de 25 % du prix initial de 55 $, donc :

En soustrayant cette démarque du prix d'origine, je peux trouver le prix de vente :

Le prix de vente est de 41,25 $.

Tout d'abord, je vais trouver le montant de la démarque :

Ensuite, je calculerai "la démarque par rapport au prix d'origine", ou le taux de démarque : (106,25 $) est (quelque pour cent) de (425 $), donc :

. et la démarque relative par rapport au prix d'origine est :

Depuis le " X " représente un pourcentage, je dois me rappeler de convertir cette décimale en pourcentage.

Le taux de démarque est de 25 %.

Ce problème est à l'envers. Ils m'ont donné le prix de vente (127,46 $) et le taux de démarque (15%), mais ni le montant de la démarque ni le prix d'origine. je vais laisser " X " stand pour le prix d'origine. Ensuite, la démarque, étant de 15% de ce prix, était de 0,15X . Et le prix de vente est le prix d'origine, moins la démarque, donc j'obtiens :

X &ndash 0,15X = 127.46
1X &ndash 0,15X = 127.46
0.85X = 127.46
X = 127,46 & diviser 0,85 = 149,952941176.

Ce problème n'indiquait pas comment arrondir la réponse finale, mais les dollars et les cents sont toujours écrits avec deux décimales, donc :

Le prix initial était de 149,95 $.

Notez dans ce dernier problème que je me suis retrouvé, dans la troisième ligne de calculs, avec une équation qui disait « quatre-vingt-cinq pour cent du prix d'origine est de 127,46 $ ». Vous pouvez gagner du temps en pensant aux remises de cette manière : si le prix est de 15 %, alors vous ne payez en réalité que 85 %. De même, si le prix est de 25 %, alors vous payez 75 % si le prix est de 30 %, alors vous payez 70 % et ainsi de suite.


Comment résoudre pour X

Cet article a été co-écrit par David Jia. David Jia est un tuteur académique et le fondateur de LA Math Tutoring, une société de tutorat privée basée à Los Angeles, en Californie. Avec plus de 10 ans d'expérience dans l'enseignement, David travaille avec des étudiants de tous âges et de tous niveaux dans diverses matières, ainsi que des conseils d'admission à l'université et une préparation aux tests pour le SAT, l'ACT, l'ISEE, etc. Après avoir obtenu un score parfait de 800 en mathématiques et un score de 690 en anglais au SAT, David a reçu la bourse Dickinson de l'Université de Miami, où il a obtenu une licence en administration des affaires. De plus, David a travaillé comme instructeur pour des vidéos en ligne pour des sociétés de manuels telles que Larson Texts, Big Ideas Learning et Big Ideas Math.

Il y a 7 références citées dans cet article, qui se trouvent en bas de la page.

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Il existe un certain nombre de façons de résoudre x, que vous travailliez avec des exposants et des radicaux ou que vous deviez simplement effectuer une division ou une multiplication. Quel que soit le processus que vous utilisez, vous devez toujours trouver un moyen d'isoler x d'un côté de l'équation afin de pouvoir trouver sa valeur. Voici comment procéder :


Problème de composition en pourcentage massique

Le bicarbonate de soude (hydrogénocarbonate de sodium) est utilisé dans de nombreuses préparations commerciales. Sa formule est NaHCO3. Trouvez les pourcentages massiques (% en masse) de Na, H, C et O dans l'hydrogénocarbonate de sodium.

Tout d'abord, recherchez les masses atomiques des éléments du tableau périodique. Les masses atomiques sont :

Ensuite, déterminez combien de grammes de chaque élément sont présents dans une mole de NaHCO3:

  • 22,99 g (1 mol) de Na
  • 1,01 g (1 mol) de H
  • 12,01 g (1 mol) de C
  • 48,00 g (3 moles x 16,00 grammes par mole) d'O

La masse d'une mole de NaHCO3 est:

22,99 g + 1,01 g + 12,01 g + 48,00 g = 84,01 g

Et les pourcentages massiques des éléments sont

  • % en masse Na = 22,99 g / 84,01 g x 100 = 27,36 %
  • % de masse H = 1,01 g / 84,01 g x 100 = 1,20 %
  • % en masse C = 12,01 g / 84,01 g x 100 = 14,30 %
  • % en masse O = 48,00 g / 84,01 g x 100 = 57,14 %

Lorsque vous effectuez des calculs de pourcentage en masse, c'est toujours une bonne idée de vérifier que vos pourcentages en masse totalisent 100 % (aide à détecter les erreurs mathématiques) :

27.36 + 14.30 + 1.20 + 57.14 = 100.00


Équilibres acide-base

Exemple : Considérons le processus par lequel nous calculerions le H 3O + , OAc - et HOAc concentrations à l'équilibre dans un 0,10 M solution d'acide acétique dans l'eau.

Nous commençons ce calcul en construisant une représentation de ce que nous savons de la réaction.

HOAc(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + CAO - (aq) Kune = 1,8 x 10 -5
Initiale: 0.10 M 0 0
Équilibre: ? ? ?

Nous comparons ensuite le quotient de réaction initial (Qune) avec la constante d'équilibre (Kune) pour la réaction et parvenir à la conclusion évidente que la réaction doit se déplacer vers la droite pour atteindre l'équilibre.

Reconnaissant que nous obtenons un H3L'ion O + et un ion OAc - à chaque fois qu'une molécule HOAc se dissocie nous permet d'écrire des équations pour les concentrations à l'équilibre des trois composants de la réaction.

HOAc(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + OAc - (aq) Kune = 1,8 x 10 -5
Initiale: 0.10 M 0 0
Équilibre: 0.10 - C C C

En substituant ce que nous savons du système à l'équilibre dans le Kune expression donne l'équation suivante.

Bien que nous puissions réarranger cette équation et la résoudre avec la formule quadratique, il est tentant de tester l'hypothèse selon laquelle C est faible par rapport à la concentration initiale d'acide acétique.

Nous résolvons ensuite cette équation approchée pour la valeur de C.

C est suffisamment petit pour être ignoré dans ce problème car il est inférieur à 5% de la concentration initiale d'acide acétique.

On peut donc utiliser cette valeur de C pour calculer les concentrations d'équilibre de H3O + , OAc - et HOAc.

[H3O + ] = [OAc - ] = C 0.0013 M

Nous pouvons confirmer la validité de ces résultats en substituant ces concentrations dans l'expression de Kune.

Notre calcul doit être valide car le rapport de ces concentrations s'accorde avec la valeur de Kune pour l'acide acétique, dans les limites de l'erreur expérimentale.

Lors de la résolution de problèmes impliquant des acides faibles, il peut apparaître qu'une hypothèse est faite qui est faible par rapport à la concentration initiale de HOAc. En fait, deux hypothèses sont avancées.

La seconde hypothèse est cachée dans la manière dont le problème est posé.

HOAc(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + OAc - (aq) Kune = 1,8 x 10 -5
Initiale: 0.10 M 0 0
Équilibre: 0.10 - C C C

Le montant de H3L'ion O + dans l'eau est si petit que l'on est tenté de supposer que la concentration initiale de cet ion est nulle, ce qui n'est pas tout à fait vrai.

Il est important de se rappeler qu'il existe deux sources de H3O + ion dans cette solution. On obtient H3O + ions issus de la dissociation de l'acide acétique.

HOAc(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + OAc - (aq)

But we also get H3O + ions from the dissociation of water.

2 H2O(je) H3O + (aq) + OH - (aq)

Because the initial concentration of the H3O + ion is not quite zero, it might be a better idea to write "0" beneath the H3O + term when we describe the initial conditions of the reaction, as shown below.

HOAc(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + OAc - (aq) Kune = 1.8 x 10 -5
Initial: 1.0 M 0 0
Equilibrium: 1.0 - C C C

Before we can trust the results of the calculation for acetic acid in the previous section, we have to check both of the assumptions made in this calculation.

  • The assumption that the amount of acid that dissociates is small compared with the initial concentration of the acid.
  • The assumption that enough acid dissociates to allow us to ignore the dissociation of water

We have already confirmed the validity of the first assumption. (Only 1.3% of the acetic acid molecules dissociate in this solution.) Let's now check the second assumption.

According to the calculation in the previous section, the concentration of the H3O + ion from the dissociation of acetic acid is 0.0013 M. The OH - ion concentration in this solution is therefore 7.7 x 10 -12 M.

All of the OH - ion in this solution comes from the dissociation of water. Since we get one H3O + ion for each OH - ion when water dissociates, the contribution to the total H3O + ion concentration from the dissociation of water must be 7.7 x 10 -12 M. In other words, only about 6 parts per billion of the H3O + ions in this solution come from the dissociation of water.

The second assumption is therefore valid in this calculation. For all practical purposes, we can assume that virtually none of the H3O + ion in this solution comes from the dissociation of water. As might be expected, this assumption only fails for dilute solutions of very weak acids.

The two assumptions that are made in weak-acid equilibrium problems can be restated as follows.

  • The dissociation of the acid is small enough that the change in the concentration of the acid as the reaction comes to equilibrium can be ignored.
  • The dissociation of the acid is large enough that the H3O + ion concentration from the dissociation of water can be ignored.

In other words, the acid must be weak enough ce C is small compared with the initial concentration of the acid. But it also must be strong enough that the H3O + ions from the acid overwhelm the dissociation of water. In order for the approach taken to the calculation for acetic acid to work, the acid has to be "just right." If it's too strong, C won't be small enough to be ignored. If it's too weak, the dissociation of water will have to be included in the calculation.

Fortunately, many acids are "just right." To illustrate this point, the next section will use both assumptions in a series of calculations designed to identify the factors that influence the H3O + ion concentration in aqueous solutions of weak acids.

The following examples probe the relationship between the H3O + ion concentration at equilibrium and the acid-dissociation equilibrium constant for the acid.

Calculate the pH of 0.10 M solution of hypochlorous acid, HOCl, Kune = 2.9 x 10 -8

As expected, the H3O + ion concentration at equilibrium and therefore the pH of the solutiondepends on the value of Kune for the acid. Le H3O + ion concentration decreases and the pH of the solution increases as the value of Kune becomes smaller. The next exercise shows that the H3O + ion concentration at equilibrium also depends on the initial concentration of the acid.

Calculer le H3O + ion concentration and the pH of acetic acid solutions with the following concentrations: 1.0 M, 0.10 M, and 0.01 M.

The concentration of the H3O + ion in an aqueous solution gradually decreases and the pH of the solution increases as the solution becomes more dilute.

The results of the previous two examples provide a basis for constructing a model that allows us to predict when we can ignore the dissociation of water in equilibrium problems involving weak acids. Two factors must be built into this model: (1) the strength of the acid as reflected by the value of Kune, and (2) the strength of the solution as reflected by the initial concentration of the acid.

We need to develop techniques to handle problems for which one or the other of our assumptions is not valid. (Either the acid is not weak enough to ignore the value of C, or the acid is so weak we have to include the dissociation of water in our calculations.)

In this section, we will consider acid solutions that aren't weak enough to ignore the value of C. Let's start by calculating the H3O + , HClO2, and ClO2 - concentrations at equilibrium in an 0.10 M solution of chlorous acid (Kune = 1.1 x 10 -2 ).

The first step, as always, involves building a representation of the problem.

HClO2(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + ClO2 - (aq) Kune = 1.1 x 10 -2
Initial: 0.10 M 0 0
Equilibrium: 0.10 - C C C

We then substitute this information into the Kune expression.

La valeur de Kune for this acid is close enough to 1 to make us suspicious of the assumption that C is small compared with the initial concentration of the acid. There is nothing wrong with trying this assumption, however, even if we suspect it isn't valid.

Solving this approximate equation gives a value for C that is 33% of the initial concentration of chlorous acid.

The assumption that C is small therefore fails miserably.

There are two ways out of this difficulty. We can expand the original equation and solve it by the quadratic formula. Or we can use successive approximations to solve the problem. Both techniques give the following value of C for this problem.

Using this value of C gives the following results.

Chlorous acid doesn't belong among the class of strong acids that dissociate more or less completely. Nor does it fit in the category of weak acids, which dissociate only to a negligible extent. Since the amount of dissociation in this solution is about 28%, it might be classified as a "not-so-weak acid."

It is more difficult to solve equilibrium problems when the acid is too weak to ignore the dissociation of water. Deriving an equation that can be used to solve this class of problems is therefore easier than solving them one at a time. To derive such an equation, we start by assuming that we have a generic acid, HA, that dissolves in water. We therefore have two sources of the H3O + ion.

HA(aq) + H2O(je) H3O + (aq) + A - (aq)

2 H2O(je) H3O + (aq) + OH - (aq)

Because we get one H3O + ion for each OH - ion when water dissociates, the concentration of the H3O + ion from the dissociation of water is always equal to the amount of OH - ion from this reaction.

The total H3O + ion concentration in an acid solution is equal to the sum of the H3O + ion concentrations from the two sources of this ion, the acid and water.

We now write three more equations that describe this system. The first equation is the equilibrium constant expression for this reaction.

The second equation summarizes the relationship between the total H3O + ion concentration in the solution and the OH - ion concentration from the dissociation of water.

The third equation summarizes the relationship between the positive and negative ions produced by the two reactions that occur in this solution.

(This equation simply states that the sum of the positive ions formed by the dissociation of the acid and water is equal to the sum of the negative ions produced by these reactions.)

We now substitute the second equation into the third.

We then solve this equation for the [A - ] term.

We then substitute this equation into the equilibrium constant expression.

Rearranging this equation by combining terms gives the following result.

We then solve this equation for the H3O + ion concentration and take the square root of both sides.

We can generate a more useful version of this equation by remembering that we are trying to solve equilibrium problems for acids that are so weak we can't ignore the dissociation of water. We can therefore assume that C is small compared with the initial concentration of the acid.

By convention, the symbol used to represent the initial concentration of the acid is Cune. Si C is small compared with the initial concentration of the acid, then the concentration of HA when this reaction reaches equilibrium will be virtually the same as the initial concentration.

Substituting this approximation into the equation derived in this section gives an equation that can be used to calculate the pH of a solution of a very weak acid.

Calculer le H3O + concentration in an 0.0001 M solution of hydrocyanic acid (HCN).

This section compares the way in which the H3O + concentration is calculated for pure water, a weak acid, and a very weak acid.

The product of the concentrations of the H3O + and OH - ions in pure water is equal to Kw.

But the H3O + and OH - ion concentrations in pure water are the same.

Substituting the second equation into the first gives the following result.

Le H3O + ion concentration in pure water is therefore equal to the square root of Kw.

The generic equilibrium constant expression for a weak acid is written as follows.

If the acid is strong enough to ignore the dissociation of water, the H3O + ion and A - ion concentrations in this solution are about equal.

Substituting this information into the acid-dissociation equilibrium constant expression gives the following result.

The concentration of the HA molecules at equilibrium is equal to the initial concentration of the acid minus the amount that dissociates: C.

Si C is small compared with the initial concentration of the acid, we get the following approximate equation.

Rearranging this equation and taking the square root of both sides gives the following result.

When the acid is so weak that we can't ignore the dissociation of water, we use the following equation to calculate the concentration of the H3O + ion at equilibrium.

The equations used to calculate the H3O + ion concentration in these solutions are summarized below.

The first and second equations are nothing more than special cases of the third. When we can ignore the dissociation of the acidbecause there is no acid in the solutionwe get the first equation. When we can ignore the dissociation of water, we get the second equation. When we can't ignore the dissociation of either the acid or water, we have to use the last equation.

This discussion gives us a basis for deciding when we can ignore the dissociation of water. Remember our rule of thumb: we can ignore anything that makes a contribution of less than 5% to the total. Now compare the most inclusive equation for the H3O + ion concentration

with the equation that assumes that the dissociation of water can be ignored.

The only difference is the Kw term, which is under the square root sign.

As a rule: We can ignore the dissociation of water when KuneCune for a weak acid is larger than 1.0 x 10 -13 . When KuneCune is smaller than 1.0 x 10 -13 , the dissociation of water must be included in the calculation.

Calculate the pH of an 0.023 M solution of saccharin (HSc), if Kune is 2.1 x 10 -12 for this artificial sweetener.


How to Use the 5 Whys

The model follows a very simple seven-step process:

1. Assemble a Team

Gather together people who are familiar with the specifics of the problem, and with the process that you're trying to fix. Include someone to act as a facilitator , who can keep the team focused on identifying effective counter-measures.

2. Define the Problem

If you can, observe the problem in action. Discuss it with your team and write a brief, clear problem statement that you all agree on. For example, "Team A isn't meeting its response time targets" or "Software release B resulted in too many rollback failures."

Then, write your statement on a whiteboard or sticky note, leaving enough space around it to add your answers to the repeated question, "Why?"

3. Ask the First "Why?"

Ask your team why the problem is occurring. (For example, "Why isn't Team A meeting its response time targets?")

Asking "Why?" sounds simple, but answering it requires serious thought. Search for answers that are grounded in fact: they must be accounts of things that have actually happened, not guesses at what might have happened.

This prevents 5 Whys from becoming just a process of deductive reasoning, which can generate a large number of possible causes and, sometimes, create more confusion as you chase down hypothetical problems.


Voir la vidéo: Õpetaja Maurus selgitab II osa. Protsentarvutus (Décembre 2021).