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3.3 : Intervalles en Eⁿ - Mathématiques


Considérons le rectangle dans (E^{2}) représenté sur la figure 2. Son intérieur (sans le périmètre se compose de tous les points ((x, y) in E^{2}) tels que

[a_{1}

c'est à dire.,

[x inleft(a_{1}, b_{1} ight) ext{ et } y inleft(a_{2}, b_{2} ight).]

C'est donc le produit cartésien de deux intervalles de droite, (left(a_{1}, b_{1} ight)) et (left(a_{2}, b_{2} ight) . ) Pour inclure aussi tout ou partie des côtés, il faudrait remplacer les intervalles ouverts par des intervalles fermés, mi-fermés ou mi-ouverts. De même, les produits cartésiens de trois intervalles linéaires donnent des parallélépipèdes rectangles dans (E^{3} .) Nous appelons de tels ensembles dans des intervalles (E^{n}).

Définition

1. Par intervalle dans (E^{n}) nous entendons le produit cartésien de tout (n) intervalles (quad) dans (E^{1}) (certains peuvent être ouverts, d'autres fermés ou semi-ouvert, etc.).

2. En particulier, étant donné

[overline{a}=left(a_{1}, ldots, a_{n} ight) ext{ et } overline{b}=left(b_{1}, ldots, b_{ n}droit)]

avec

[a_{k} leq b_{k}, quad k=1,2, ldots, n,]

on définit l'intervalle ouvert ((overline{a}, overline{b}),) l'intervalle fermé ([overline{a}, overline{b}],) l'intervalle semi-ouvert ((overline{a}, overline{b}],) et l'intervalle semi-fermé ([overline{a}, overline{b})) comme suit :

[egin{aligned}(overline{a}, overline{b}) &=left{overline{x} | a_{k}

Dans tous les cas, (overline{a}) et (overline{b}) sont appelés les extrémités de l'intervalle. Leur distance

[ ho(overline{a}, overline{b})=|overline{b}-overline{a}|]

est appelée sa diagonale. Les (n) différences

[b_{k}-a_{k}=ell_{k} quad(k=1, ldots, n)]

sont appelées ses (n) longueurs d'arête. Leur produit

[prod_{k=1}^{n} ell_{k}=prod_{k=1}^{n}left(b_{k}-a_{k} ight)]

est appelé le volume de l'intervalle (en (E^{2}) c'est son aire, en (E^{1}) sa longueur) .) Le point

[overline{c}=frac{1}{2}(overline{a}+overline{b})]

est appelé son centre ou son milieu. La différence d'ensemble

[[overline{a}, overline{b}]-(overline{a}, overline{b})]

est appelée la frontière de tout intervalle avec les extrémités (overline{a}) et (vec{b} ;) elle se compose de 2(n) "faces" définies de manière naturelle. (Comment?)

Nous désignons souvent les intervalles par des lettres simples, par exemple (A=(overline{a}, overline{b}),) et écrivons (d A) pour "diagonale de (A^{prime prime}) et (v A) ou vol (A) pour "volume de (A . ") Si toutes les longueurs d'arête (b_{k}-a_{k}) sont égales, (A) est appelé un cube (dans (E^{2},) un carré). L'intervalle (A) est dit dégénéré ssi (b_{k}=a_{k} ) pour certains (k,) auquel cas, clairement,

[operatorname{vol} A=prod_{k=1}^{n}left(b_{k}-a_{k} ight)=0.]

Note 1. On a (overline{x} in(overline{a}, overline{b})) ssi les inégalités (a_{k}

Note 2. Dans n'importe quel intervalle (A),

[d A= ho(overline{a}, overline{b})=sqrt{sum_{k=1}^{n}left(b_{k}-a_{k} ight) ^{2}}=sqrt{sum_{k=1}^{n} ell_{k}^{2}}.]

Dans (E^{2},) nous pouvons diviser un intervalle (A) en deux sous-intervalles (P) et (Q) en traçant une ligne (voir Figure 2() .) Dans (E^{3},) cela se fait par un plan orthogonal à l'un des axes de la forme (x_{k}=cleft() voir §§4-6, Note 2() ,) avec (a_{k}

Maintenant, dessinez successivement (n) plans (x_{k}=c_{k}, quad c_{k}=frac{1}{2}left(a_{k}+b_{k} right), quad k=1,2, ldots, n .) Le premier plan coupe en son milieu (ell_{j}) laissant les autres arêtes de (A mathrm{un}-) modifiées. Les deux sous-intervalles résultants (P) et (Q) sont alors coupés par le plan (x_{2}=c_{2},) bissectant la deuxième arête dans chacun d'eux. On obtient ainsi quatre sous-intervalles (voir Figure 3 pour (E^{2}) . Chaque plan successif double le nombre de sous-intervalles. Après (n) pas, on obtient ainsi (2^{n}) disjoint intervalles, avec toutes les arêtes (ell_{k}) coupées en deux. Ainsi par la note (2,) la diagonale de chacune d'elles est

[sqrt{sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{2} ell_{k} ight)^{2}}=frac{1}{2} sqrt{sum_{k=1}^{n} ell_{k}^{2}}=frac{1}{2} d A.]

Note 3. Si (A) est fermé alors, comme indiqué ci-dessus, nous pouvons fermer n'importe lequel (mais seulement un ()) des (2^{n}) sous-intervalles en manipulant correctement chaque étape.

La preuve des corollaires simples suivants est laissée au lecteur.

Corollaire (PageIndex{1})

Aucune distance entre deux points d'un intervalle (A) n'excède (d A,) sa diagonale. C'est-à-dire ((forall overline{x}, overline{y} in A) ho(overline{x}, overline{y}) leq d A)

Corollaire (PageIndex{2})

Si un intervalle (A) contient (overline{p}) et (overline{q},) alors aussi (L[overline{p}, overline{q}] subseteq A ).

corollaire (PageIndex{3})

Tout intervalle non dégénéré dans (E^{n}) contient des points rationnels, c'est-à-dire des points dont les coordonnées sont toutes rationnelles.

(Indice : utilisez la densité des rationnels dans (E^{1}) pour chaque coordonnée séparément.)


Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle est un groupe de nombres qui comprend tous les nombres entre le début et la fin. Les nombres qui sont plus grands que le nombre de début et plus petits que le nombre de fin sont à l'intérieur de l'intervalle, et les nombres qui sont plus petits que le nombre de début ou plus grands que le nombre de fin ne sont pas dans l'intervalle. Le numéro de début et le numéro de fin peuvent ou non être à l'intérieur de l'intervalle. Un exemple d'intervalle pourrait être de 3,3 à 15. Ici, des nombres tels que 4, 8, 9,5, 14 et même 14,999 sont à l'intérieur de cet intervalle. Des nombres tels que -4, 2, 3,2, 20 et 15 000001 ne sont pas à l'intérieur de cet intervalle.

Pour écrire un intervalle, écrivez soit un crochet ( [ ) ou une parenthèse ( ( ), le numéro de début, une virgule ( , ), le numéro de fin et soit un crochet fermant ( ] ) ou une parenthèse fermante ( ) ). Des exemples d'intervalles sont (4, 9.6), [-100, 100], [-30, -4).


1 réponse 1

J'imagine que le livre résout l'équation pour les intervalles $(-infty,-3)$ et $(3,infty)$ en mettant en place

Puis multiplier les deux côtés de l'équation par le facteur d'intégration $sqrt$ . C'est là que la restriction de domaine d'origine apparaît. Mais nous n'utiliserons pas ce facteur d'intégration ! Les facteurs d'intégration ne sont pas uniques, et l'utilisation de différents facteurs d'intégration peut nous donner des solutions pour différents intervalles. Trouvons le facteur d'intégration dont nous avons besoin pour $(-3,3)$ . La forme générale du facteur d'intégration de cette EDO est

Où $C$ n'est pas nul. Puisque $lvert -a vert = lvert a vert$ , un facteur d'intégration valide est

$sqrt<9-x^2>$ Vous remarquerez que ceci est défini sur l'intervalle requis $(-3,3)$ . À partir de là, appliquez la méthode du facteur d'intégration comme d'habitude pour atteindre la solution souhaitée.

C'est l'une de mes premières réponses sur ce site, donc j'apprécierais tous les conseils de formatage et/ou d'étiquette sur la façon d'améliorer mes réponses. J'espère que cela a été utile!


Les intervalles sont écrits avec des crochets rectangulaires ou des parenthèses, et deux nombres délimités par une virgule. Les deux nombres sont appelés les points de terminaison de l'intervalle. Le nombre à gauche indique le moindre élément ou la limite inférieure. Le nombre à droite indique le plus grand élément ou la limite supérieure.

Les différents types de parenthèses peuvent être utilisés dans le même intervalle :

Si un intervalle n'a pas de borne inférieure ou supérieure, alors les symboles − ∞ -infty − ∞ ou ∞ infty ∞ sont utilisés. Ces symboles sont toujours utilisés avec une parenthèse, car l'infini n'est pas un nombre qui peut être inclus dans un ensemble :

Utilisez la notation d'intervalle pour représenter la notation d'intervalle indiquée sur la droite numérique ci-dessous.

L'intervalle comprend des valeurs comprises entre -6 et 3, mais n'inclut pas 3. Par conséquent, la notation d'intervalle correcte est [ − 6 , 3 ) . [-6,3). [−6, 3).

Les intersections et les unions d'intervalles peuvent être écrites avec les symboles ∩ cap ∩ ou ∪ cup ∪ :


Discussion 3-3 Intervalles de confiance et tests d'hypothèses

Dans le script Python, vous avez calculé les données d'échantillon pour construire un intervalle de confiance de 90 % et 99 % pour le diamètre moyen des roulements à billes produits à partir de ce processus de fabrication. Ces intervalles de confiance ont été créés à l'aide de la distribution normale basée sur l'hypothèse que l'écart type de la population est connu et que la taille de l'échantillon est suffisamment grande. Déclarez ces intervalles de confiance arrondis à deux décimales. Voir l'étape 2 dans le script Python.

Interpréter les deux intervalles de confiance. Assurez-vous d'être détaillé et précis dans votre interprétation.

L'intervalle de confiance à 90 % arrondi à deux décimales dans les données de l'échantillon est (2,37, 2,61). Cela montre qu'il existe une confiance de 90 % que le diamètre moyen des roulements à billes est compris entre 2,37 et 2,61.

L'intervalle de confiance de 99 % arrondi à deux décimales dans les données de l'échantillon est (2,31, 2,67). Cela montre que le diamètre moyen des roulements à billes est compris entre 2,31 et 2,67 avec un niveau de confiance de 99%.

Des études antérieures ont affirmé que le diamètre moyen des roulements à billes issus de ce processus de fabrication est de 2,30 cm. Sur la base de l'échantillon de 50 que vous avez collecté, existe-t-il des preuves suggérant que le diamètre moyen est supérieur à 2,30 cm ? Effectuez un test d'hypothèse pour la moyenne de la population à alpha = 0,01.

Dans votre message initial, adressez les éléments suivants :

L'hypothèse nulle est que les roulements à billes issus de ce procédé de fabrication sont = 2,30 cm. Parce qu'il existe des preuves suggérant que le diamètre moyen des roulements à billes de ce processus de fabrication est plus grand, le test d'hypothèse est droitier. Soit, l'hypothèse alternative est que le diamètre moyen des roulements à billes issus de ce procédé de fabrication est supérieur à 2,30 cm

Le seuil de signification est de 10 %. C'est-à-dire qu'il y a 10 % de chance que le diamètre moyen des roulements à billes issus de ce processus de fabrication soit supérieur à 2,30 cm.

  1. Incluez la statistique de test et la valeur P. Voir l'étape 3 dans le script Python. (Notez que les méthodes Python renvoient deux valeurs P à queue. Vous devez signaler la valeur P correcte en fonction de l'hypothèse alternative.)

La statistique de test est de 2,42, et la valeur P est.

  1. Donnez votre conclusion et votre interprétation des résultats. Faut-il rejeter l'hypothèse nulle ? Pourquoi ou pourquoi pas?

Dans mon analyse, l'hypothèse nulle doit être conservée. En effet, le diamètre moyen des roulements à billes issus de ce processus de fabrication est de 2,30 cm ou plus.


Contenu

Une intervalle ouvert n'inclut pas ses extrémités et est indiqué par des parenthèses. [1] [2] Par exemple, (0,1) signifie supérieur à 0 et inférieur à 1 . Cela signifie (0,1) = <X | 0 < X < 1> .

UNE intervalle fermé est un intervalle qui inclut tous ses points limites, et est indiqué par des crochets. [1] [2] Par exemple, [0,1] signifie supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à 1 .

UNE intervalle semi-ouvert n'inclut qu'un seul de ses points d'extrémité et est indiqué en mélangeant les notations pour les intervalles ouverts et fermés. [3] Par exemple, (0,1] signifie supérieur à 0 et inférieur ou égal à 1 , tandis que [0,1) signifie supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1 .

UNE intervalle dégénéré est tout ensemble constitué d'un seul nombre réel (c'est-à-dire un intervalle de la forme [une,une] ). [3] Certains auteurs incluent l'ensemble vide dans cette définition. Un intervalle réel qui n'est ni vide ni dégénéré est dit correct, et a une infinité d'éléments.

Un intervalle est dit borné à gauche ou alors borné à droite, s'il existe un nombre réel qui est, respectivement, plus petit ou plus grand que tous ses éléments. Un intervalle est dit délimité, s'il est à la fois borné à gauche et à droite et est dit sans bornes autrement. Les intervalles bornés à une seule extrémité sont dits à moitié borné. L'ensemble vide est borné et l'ensemble de tous les réels est le seul intervalle non borné aux deux extrémités. Les intervalles délimités sont aussi communément appelés intervalles finis.

Les intervalles bornés sont des ensembles bornés, en ce sens que leur diamètre (qui est égal à la différence absolue entre les extrémités) est fini. Le diamètre peut être appelé le longueur, largeur, mesure, gamme, ou alors Taille de l'intervalle. La taille des intervalles non bornés est généralement définie comme +∞ , et la taille de l'intervalle vide peut être définie comme 0 (ou laissée non définie).

Le centre (le milieu) de l'intervalle borné avec les extrémités a et b est (une + b)/2 , et son rayon est la demi-longueur | uneb |/2 . Ces concepts sont indéfinis pour les intervalles vides ou non bornés.

Un intervalle est dit laissé ouvert si et seulement s'il ne contient pas de minimum (un élément plus petit que tous les autres éléments) ouverture à droite s'il ne contient pas de maximum et ouvert s'il a les deux propriétés. L'intervalle [0,1) = <X | 0 ≤ X < 1> , par exemple, est fermé à gauche et ouvert à droite. L'ensemble vide et l'ensemble de tous les réels sont des intervalles ouverts, tandis que l'ensemble des réels non négatifs est un intervalle ouvert à droite mais pas ouvert à gauche. Les intervalles ouverts sont des ensembles ouverts de la ligne réelle dans sa topologie standard, et forment une base des ensembles ouverts.

Un intervalle est dit fermé à gauche s'il a un élément minimum, fermé à droite s'il a un maximum, et simplement fermé s'il a les deux. Ces définitions sont généralement étendues pour inclure l'ensemble vide et les intervalles non bornés (à gauche ou à droite), de sorte que les intervalles fermés coïncident avec les ensembles fermés dans cette topologie.

Le intérieur d'un intervalle I est le plus grand intervalle ouvert contenu dans I c'est aussi l'ensemble des points de I qui ne sont pas des extrémités de I . Le fermeture de I est le plus petit intervalle fermé qui contient I qui est aussi l'ensemble I augmenté de ses extrémités finies.

Pour tout ensemble X de nombres réels, le enceinte d'intervalle ou alors intervalle de temps de X est l'unique intervalle qui contient X , et ne contient correctement aucun autre intervalle qui contient également X .

Un intervalle I est sous-intervalle de l'intervalle J si I est un sous-ensemble de J . Un intervalle I est un sous-intervalle approprié de J si I est un sous-ensemble propre de J .

Note sur la terminologie contradictoire Modifier

Les termes segment et intervalle ont été employés dans la littérature de deux manières essentiellement opposées, ce qui entraîne une ambiguïté lorsque ces termes sont utilisés. Le Encyclopédie des mathématiques [4] définit intervalle (sans qualificateur) pour exclure les deux paramètres (c'est-à-dire l'intervalle ouvert) et segment pour inclure les deux points de terminaison (c.-à-d. intervalle fermé), tandis que Rudin Principes de l'analyse mathématique [5] appelle des ensembles de la forme [une, b] intervalles et des ensembles de la forme (une, b) segments tout au long de. Ces termes ont tendance à apparaître dans les œuvres plus anciennes, les textes modernes privilégient de plus en plus le terme intervalle (qualifié par ouvert, fermé, ou alors à moitié ouvert), que les points de terminaison soient inclus ou non.

L'intervalle de nombres entre a et b , y compris a et b , est souvent noté [une, b] . [1] Les deux nombres sont appelés les points de terminaison de l'intervalle. Dans les pays où les nombres sont écrits avec une virgule décimale, un point-virgule peut être utilisé comme séparateur pour éviter toute ambiguïté.

Inclure ou exclure des points de terminaison Modifier

Pour indiquer qu'une des extrémités doit être exclue de l'ensemble, le crochet correspondant peut être soit remplacé par une parenthèse, soit inversé. Les deux notations sont décrites dans la norme internationale ISO 31-11. Ainsi, dans la notation du constructeur d'ensembles,

Chaque intervalle (une, une) , [une, une) , et (une, une] représente l'ensemble vide, alors que [une, une] désigne l'ensemble singleton <une> . Lorsque une > b , les quatre notations sont généralement prises pour représenter l'ensemble vide.

Les deux notations peuvent se chevaucher avec d'autres utilisations des parenthèses et des crochets en mathématiques. Par exemple, la notation (une, b) est souvent utilisé pour désigner une paire ordonnée en théorie des ensembles, les coordonnées d'un point ou d'un vecteur en géométrie analytique et en algèbre linéaire, ou (parfois) un nombre complexe en algèbre. C'est pourquoi Bourbaki a introduit la notation ]une, b[ pour désigner l'intervalle ouvert. [6] La mention [une, b] est aussi parfois utilisé pour les paires ordonnées, notamment en informatique.

Certains auteurs utilisent ]une, b[ pour désigner le complément de l'intervalle (une, b) à savoir, l'ensemble de tous les nombres réels qui sont soit inférieurs ou égaux à a , soit supérieurs ou égaux à b .

Points de terminaison infinis Modifier

Dans certains contextes, un intervalle peut être défini comme un sous-ensemble des nombres réels étendus, l'ensemble de tous les nombres réels augmentés de −∞ et +∞ .

Dans cette interprétation, les notations [−∞, b] , (−∞, b] , [une, +∞] , et [une, +∞) sont tous significatifs et distincts. En particulier, (−∞, +∞) désigne l'ensemble de tous les nombres réels ordinaires, tandis que [−∞, +∞] désigne les réels étendus.

Même dans le contexte des réels ordinaires, on peut utiliser un point final infini pour indiquer qu'il n'y a pas de limite dans cette direction. Par exemple, (0, +∞) est l'ensemble des nombres réels positifs, également écrit R + _<+>> . [7] Le contexte affecte certaines des définitions et terminologies ci-dessus. Par exemple, l'intervalle (−∞, +∞) = R > est fermé dans le domaine des réels ordinaires, mais pas dans le domaine des réels étendus.

Intervalles entiers Modifier

Lorsque a et b sont des nombres entiers, la notation ⟦un B⟧, ou alors [une .. b] ou <une .. b> ou juste une .. b , est parfois utilisé pour indiquer l'intervalle de tous entiers entre a et b inclus. La mention [une .. b] est utilisé dans certains langages de programmation en Pascal, par exemple, il est utilisé pour définir formellement un type de sous-plage, le plus souvent utilisé pour spécifier les limites inférieure et supérieure des indices valides d'un tableau.

Un intervalle entier qui a une extrémité inférieure ou supérieure finie inclut toujours cette extrémité. Par conséquent, l'exclusion des points de terminaison peut être explicitement notée en écrivant une .. b − 1 , une + 1 .. b , ou alors une + 1 .. b − 1 . Notations entre crochets comme [une .. b) ou alors [une .. b[ sont rarement utilisés pour les intervalles entiers. [ citation requise ]

Les intervalles de nombres réels peuvent être classés dans les onze types différents énumérés ci-dessous [ citation requise ] , où a et b sont des nombres réels, et a < b :

L'intersection de toute collection d'intervalles est toujours un intervalle. L'union de deux intervalles est un intervalle si et seulement s'ils ont une intersection non vide ou si une extrémité ouverte d'un intervalle est une extrémité fermée de l'autre (par exemple, ( a , b ) ∪ [ b , c ] = ( a , c ] ).

Si R > est considéré comme un espace métrique, ses boules ouvertes sont les ensembles ouverts bornés (c + r, cr) , et ses boules fermées sont les ensembles fermés bornés [c + r, cr] .

Les intervalles dyadiques ont les propriétés suivantes :

  • La longueur d'un intervalle dyadique est toujours une puissance entière de deux.
  • Chaque intervalle dyadique est contenu dans exactement un intervalle dyadique de deux fois la longueur.
  • Chaque intervalle dyadique est enjambé par deux intervalles dyadiques de la moitié de la longueur.
  • Si deux intervalles dyadiques ouverts se chevauchent, alors l'un d'eux est un sous-ensemble de l'autre.

Les intervalles dyadiques ont par conséquent une structure qui reflète celle d'un arbre binaire infini.

Les intervalles dyadiques sont pertinents pour plusieurs domaines de l'analyse numérique, y compris le raffinement adaptatif du maillage, les méthodes multigrilles et l'analyse par ondelettes. Une autre façon de représenter une telle structure est l'analyse p-adique (par exemple p = 2 ). [8]

Intervalles multidimensionnels Modifier

Pour n = 2 , cela peut être considéré comme une région délimitée par un carré ou un rectangle, dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, selon que la largeur des intervalles est la même ou non, pour n = 3 , cela peut être considéré comme une région délimitée par un cube aligné sur l'axe ou un cuboïde rectangulaire. Dans les dimensions supérieures, le produit cartésien de n intervalles est délimité par un hypercube ou hyperrectangle à n dimensions.

Intervalles complexes Modifier

Les intervalles de nombres complexes peuvent être définis comme des régions du plan complexe, rectangulaires ou circulaires. [9]

Des intervalles peuvent être associés à des points du plan, et donc des régions d'intervalles peuvent être associées à des régions du plan. Généralement, un intervalle en mathématiques correspond à une paire ordonnée (x, y) tiré du produit direct R × R des nombres réels avec lui-même, où l'on suppose souvent que oui > X. Aux fins de la structure mathématique, cette restriction est rejetée, [10] et les "intervalles inversés" où ouiX < 0 sont autorisés. Ensuite, la collection de tous les intervalles [x, y] peut être identifié à l'anneau topologique formé par la somme directe de R avec lui-même, où l'addition et la multiplication sont définies par composants.

L'algèbre à somme directe ( R ⊕ R , + , × ) a deux idéaux, < [X,0] : X R > et < [0,oui] : oui R >. L'élément identitaire de cette algèbre est l'intervalle condensé [1,1]. Si intervalle [x, y] n'est pas dans l'un des idéaux, alors il a l'inverse multiplicatif [1/X, 1/oui]. Dotée de la topologie habituelle, l'algèbre des intervalles forme un anneau topologique. Le groupe d'unités de cet anneau se compose de quatre quadrants déterminés par les axes, ou idéaux dans ce cas. La composante identitaire de ce groupe est le quadrant I.

Chaque intervalle peut être considéré comme un intervalle symétrique autour de son milieu. Dans une reconfiguration publiée en 1956 par M Warmus, l'axe des "intervalles équilibrés" [X, −X] est utilisé avec l'axe des intervalles [x, x] qui se réduisent à un point. Au lieu de la somme directe R ⊕ R , l'anneau d'intervalles a été identifié [11] avec le plan des nombres complexes divisés par M. Warmus et D. H. Lehmer grâce à l'identification

z = (X + oui)/2 + j (Xoui)/2.

Cette cartographie linéaire du plan, qui équivaut à un isomorphisme en anneau, fournit au plan une structure multiplicative ayant quelques analogies avec l'arithmétique complexe ordinaire, telle que la décomposition polaire.


3.3 : Intervalles en Eⁿ - Mathématiques

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Éditeur d'expressions mathématiques

Dans cette section, nous utilisons la dérivée pour déterminer les intervalles sur lesquels une fonction donnée est croissante ou décroissante. Nous déterminerons également les extrêmes locaux de la fonction.

Fonctions croissantes et décroissantes

De même, est appelé décroissant sur un intervalle si donné deux nombres quelconques, et dans tel que , nous avons .

La dérivée est utilisée pour déterminer les intervalles où une fonction augmente ou diminue. Le théorème suivant est une conséquence directe de la pierre angulaire, le théorème de la valeur moyenne.

Si sur , alors augmente sur et de même, si sur , alors diminue sur .

sur l'intervalle. Ainsi est une fonction croissante sur .

(a) est pair, c'est-à-dire que (b) est continu sur son domaine, , (c) a une discontinuité infinie en . (d) est dérivable (pour ) et

Pour voir la dernière propriété, laissez et utilisez la règle de la chaîne : Cette dérivée peut maintenant être utilisée pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution. Observons que Par le théorème croissant/décroissant, on peut conclure que :

(a) est croissant sur l'intervalle , et (b) décroissant sur l'intervalle .

Cela peut être vu dans le graphique ci-dessous.

Ensuite, pour l'intervalle , nous utiliserons comme point de test, et nous avons . Cela signifie que pour chaque valeur dans l'intervalle et par le théorème, est décroissante sur cet intervalle.

Enfin, pour l'intervalle , nous utiliserons comme point de test et nous avons . Cela signifie que pour chaque valeur dans l'intervalle et par le théorème, est croissant sur cet intervalle.

Ainsi augmente sur les intervalles et , et diminue sur l'intervalle .

Ce nombre critique divise la droite numérique réelle en deux intervalles ouverts : et . Sur chacun de ces intervalles, sera soit strictement positif, soit strictement négatif. Pour déterminer laquelle, nous utiliserons points d'essai. Pour l'intervalle, nous utiliserons comme point de test (tout nombre dans l'intervalle est acceptable). Ensuite, nous considérons la dérivée en ce point : . Cela signifie que pour chaque valeur dans l'intervalle et par le théorème, est décroissante sur cet intervalle.

Pour l'intervalle, nous utiliserons comme point de test et nous avons . Cela signifie que pour chaque valeur dans l'intervalle et par le théorème, est croissant sur cet intervalle.

Ainsi est décroissant sur l'intervalle et il augmente sur l'intervalle.

Le travail qui a été fait dans l'exemple précédent peut en fait nous donner un peu plus d'informations sur . Nous pouvons déterminer le extrêmes locaux de .

Les nombres critiques peuvent nous aider à trouver l'emplacement et la nature des extrêmes locaux et le théorème suivant nous dit comment.

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
S'il y a plus d'un extrême local, énumérez-les dans l'ordre croissant.
a un maximum local à
a un minimum local à
et à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

En appliquant le théorème croissant/décroissant, nous pouvons conclure que est décroissant sur l'intervalle et croissant sur l'intervalle .

En ce qui concerne les extrêmes locaux, au nombre critique , la dérivée change de signe de négatif à positif, donc par le premier test de dérivée, a un minimum local à . Il n'y a pas d'autres nombres critiques, il n'y a donc pas d'autres extrêmes locaux pour cette fonction.

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

S'il n'y en a pas, tapez "aucun".
a un maximum local à
a un minimum local à

Tout d'abord, rappelez-vous que le théorème croissant/décroissant indique que augmente sur les intervalles où et diminue sur les intervalles où . De tels intervalles peuvent être déterminés à partir du graphique de en notant quand il est au-dessus ou au-dessous de l'axe -. Ce graphique est au-dessus de l'axe sur l'intervalle et en dessous de l'axe sur les intervalles et . Lorsque le graphique de est au-dessus de l'axe -, alors et donc, augmente. De même, lorsque le graphique de est en dessous de l'axe -, alors et diminue. Nous pouvons maintenant interpréter le graphique de pour indiquer qu'il augmente sur l'intervalle et diminue sur les intervalles et .


Informations sur la concentration

Préalable : Répond à la norme intensive d'algébrique de préparation au collège TSI pour les mathématiques, ou l'équivalent.

Étude approfondie et applications des fonctions polynomiales, rationnelles, radicales, exponentielles et logarithmiques et des systèmes d'équations utilisant des matrices. Des sujets supplémentaires tels que les séquences, les séries, les probabilités et les coniques peuvent être inclus.

MATH 1324. Mathématiques pour les affaires et les sciences sociales (3-3-0) Domaine central 020

Prérequis : Satisfaire à la norme de préparation au collège TSI pour les mathématiques, ou l'équivalent.

L'application de fonctions algébriques courantes, notamment polynomiales, exponentielles, logarithmiques et rationnelles, aux problèmes des affaires, de l'économie et des sciences sociales est abordée. Les applications incluent les mathématiques de la finance, y compris les systèmes d'intérêts et de rentes simples et composés d'équations linéaires, la programmation linéaire et la probabilité, y compris la valeur attendue.

MATH 1325. Calcul pour les affaires et les sciences sociales (3-3-0) Zone centrale 020

Prérequis : MATH 1314 College Algebra ou MATH 1324 Mathematics for Business and Social Sciences, ou l'équivalent.

Ce cours est l'étude de base des limites et de la continuité, de la différenciation, de l'optimisation et de la représentation graphique, et de l'intégration de fonctions élémentaires, en mettant l'accent sur les applications en affaires, en économie et en sciences sociales. Ce cours ne remplace pas MATH 2413, Calcul I.

MATH 1332. Mathématiques contemporaines (raisonnement quantitatif) (3-3-0) Domaine central 020

Préalable : Répondre à la norme de préparation à l'université TSI pour les mathématiques, ou l'équivalent.

Destiné aux majeures non STEM (sciences, technologie, ingénierie et mathématiques). Les sujets comprennent des traitements d'introduction des ensembles et de la logique, des mathématiques financières, des probabilités et des statistiques avec des applications appropriées. Le sens des nombres, le raisonnement proportionnel, l'estimation, la technologie et la communication doivent être intégrés tout au long du cours. Des sujets supplémentaires peuvent être abordés.

MATH 1342. Méthodes statistiques élémentaires (3-3-0) Zone centrale 020

Préalable : Répondre à la norme de préparation à l'université TSI pour les mathématiques, ou l'équivalent.

Collecte, analyse, présentation et interprétation des données, et probabilité. L'analyse comprend

statistiques descriptives, corrélation et régression, intervalles de confiance et tests d'hypothèses. L'utilisation d'une technologie appropriée est recommandée

MATH 1350. Mathématiques pour les enseignants I (Principes fondamentaux des mathématiques I) (3-3-0) Domaine central 090

Prérequis : MATH 1314 ou l'équivalent

Ce cours est destiné à construire ou à renforcer une base dans les concepts et les compétences mathématiques fondamentales. Il comprend le développement conceptuel des éléments suivants : ensembles, fonctions, systèmes de numération, théorie des nombres et propriétés des divers systèmes de nombres en mettant l'accent sur la résolution de problèmes et la pensée critique.

MATH 1351. Mathématiques pour les enseignants II (Principes fondamentaux des mathématiques II) (3-3-0) Domaine central 090

Ce cours est destiné à construire ou à renforcer une base dans les concepts et les compétences mathématiques fondamentales. Il comprend les concepts de géométrie, de mesure, de probabilité et de statistiques en mettant l'accent sur la résolution de problèmes et la pensée critique.

MATH 2312. Mathématiques pré-calcul (3-3-0) Zone centrale 020

Prérequis : MATH 1314 ou la préparation équivalente.

Étude combinée approfondie de l'algèbre, de la trigonométrie et d'autres sujets pour la préparation au calcul.

MATH 2413. Calcul I (4-4-0) Zone centrale 090

Prérequis : Math 2312 Mathématiques pré-calcul ou préparation équivalente

Limites et continuité le théorème fondamental du calcul définition de la dérivée d'une fonction et techniques de différenciation applications de la dérivée à la maximisation ou à la minimisation d'une fonction règle de la chaîne, théorème de la valeur moyenne et taux de variation problèmes esquisse de courbe intégration définie et indéfinie d'algébriques fonctions trigonométriques et transcendantales, avec une application au calcul des aires.

MATH 2414. Calcul II (4-4-0) Zone centrale 090

Prérequis : Math 2413 ou équivalent.

Différenciation et intégration des fonctions transcendantales équations paramétriques et techniques des coordonnées polaires des suites d'intégration et intégrales impropres en série.

MATH 2415. Calcul III (4-5-0) Zone centrale 090

Prérequis : Math 2414 ou équivalent.

Sujets avancés en calcul, y compris les vecteurs et les fonctions à valeur vectorielle, la différenciation partielle, les multiplicateurs de Lagrange, les intégrales multiples et l'application jacobienne de l'intégrale de ligne, y compris le théorème de Green, le théorème de divergence et le théorème de Stokes.

MATH 2318. Algèbre linéaire (3-4-0) Zone centrale 090

Prérequis : MATH 2414 Calcul II

Introduces and provides models for application of the concepts of vector algebra. Topics include finite dimensional vector spaces and their geometric significance representing and solving systems of linear equations using multiple methods, including Gaussian elimination and matrix inversion matrices determinants linear transformations quadratic forms eigenvalues and eigenvector and applications in science and engineering.

MATH 2320. Differential Equations (3-3-0) Core Area 090

Prerequisite: MATH 2414 Calculus II

Ordinary differential equations, including linear equations, systems of equations, equations with variable coefficients, existence and uniqueness of solutions, series solutions, singular points, transform methods and boundary value problems application of differential equations to real-world problems.


Lesson 20

Let's explore how linear and exponential functions change over equal intervals.

20.1: Writing Equivalent Expressions

For each given expression, write an equivalent expression with as few terms as possible.

20.2: Outputs of A Linear Function

Here is a graph of (y =f(x)) where (f(x) = 2x + 5) .

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La description: <p>Graph of an increasing linear function, x y plane, origin O. Horizontal axis, scale 0 to 10, by 5’s. Vertical axis, scale 0 to 15, by 20’s. The function starts at (0 comma 3) and goes through (1 comma 7) , ( 2 comma 9), (3 comma 11), (4 comma 13) and (5 comma 15). </p>

    How do the values of (f) change whenever (x) increases by 1, for instance, when it increases from 1 to 2, or from 19 to 20? Be prepared to explain or show how you know.

Here is an expression we can use to find the difference in the values of (f) when the input changes from (x) to (x+1) .

Does this expression have the same value as what you found in the previous questions? Montrez votre raisonnement.

  1. How do the values of (f) change whenever (x) increases by 4? Explain or show how you know.
  2. Write an expression that shows the change in the values of (f) when the input value changes from (x) to (x+4) .
  3. Show or explain how that expression has a value of 8.

20.3: Outputs of An Exponential Function

Here is a table that shows some input and output values of an exponential function (g) . The equation (g(x) = 3^x) defines the function.

  1. How does (g(x)) change every time (x) increases by 1? Show or explain your reasoning.
  2. Choose two new input values that are consecutive whole numbers and find their output values. Record them in the table. How do the output values change for those two input values?
  3. Complete the table with the output when the input is (x) and when it is (x+1) .

Look at the change in output values as the (x) increases by 1. Does it still agree with your findings earlier? Montrez votre raisonnement.

Pause here for a class discussion. Then, work with your group on the next few questions.

Complete this table with the output when the input is (x) and when it is (x+3) . Look at the change in output values as (x) increases by 3. Does it agree with your group's findings in the previous question? Montrez votre raisonnement.

For integer inputs, we can think of multiplication as repeated addition and exponentiation as repeated multiplication:

(displaystyle 3cdot 5=3+3+3+3+3qquadqquad ext< and >qquadqquad 3^5=3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3)

We could continue this process with a new operation called tetration. It uses the symbol (uparrowuparrow) , and is defined as repeated exponentiation:

(displaystyle 3uparrowuparrow5 = 3^<3^<3^<3^3>>>.)

Compute (2uparrowuparrow 3) and (3uparrowuparrow 2) . If (f(x)=3uparrowuparrow x) , what is the relationship between (f(x)) and (f(x+1)) ?

Summary

Linear and exponential functions each behave in a particular way every time their input value increases by the same amount.

Take the linear function (f) defined by (f(x) = 5x + 3) . The graph of this function has a slope of 5. That means that each time (x) increases by 1, (f(x)) increases by 5. For example, the points ((7,38)) and ((8,43)) are both on the graph. When (x) increases by 1 (from 7 to 8), (y) increases by 5 (because (43-38=5) ). We can show algebraically that this is always true, regardless of what value (x) takes.

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La description: <p>Graph of an increasing linear function, x y plane, origin O. Horizontal axis, scale 0 to 10, by 5’s. Vertical axis, scale 0 to 60, by 20’s. The function starts at (0 comma 3) and goes through (7 comma 38) and (8 comma 43). A horizontal green dashed line over green 1 goes from (7 comma 38) for 1 unt, then up to (8 comma 43) with a green 5 next to it for 5 units.</p>

The value of (f) when (x) increases by 1, or (f(x+1)) , is (5(x+1) +3) . Subtracting (f(x+1)) and (f(x)) , we have:

(displaystyle egin f(x+1) - f(x)=5(x+1) + 3 - (5x+3) =5x + 5 +3 -5x-3 =5end)

This tells us that whenever (x) increases by 1, the difference in the output is always 5. In the lesson, we also saw that when (x) increases by an amount other than 1, the output always increases by the same amount if the function is linear.

Now let's look at an exponential function (g) defined by (g(x) = 2^x) . If we graph (g) , we see that each time (x) increases by 1, the value (g(x)) doubles. We can show algebraically that this is always true, regardless of what value (x) takes.

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La description: <p>Graph of an increasing exponential function, x y plane, origin O. Horizontal axis, scale 0 to 10, by 5’s. Vertical axis, scale 0 to 60, by 20’s. The function starts at the vertical axis and goes through (3 comma 8), (4 comma 16) and (5 comma 32).</p>

The value of (g) when (x) increases by 1, or (g(x+1)) , is (2^) . Dividing (g(x+1)) by (g(x)) , we have:

This means that, whenever (x) increases by 1, the value of (g) always increases by a multiple of 2. In the lesson, we also saw that when (x) increases by an amount other than 1, the output always increases by the same factor if the function is exponential.

A linear function always increases (or decreases) by the same amount over equal intervals. An exponential function increases (or decreases) by equal les facteurs over equal intervals.

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Mathématiques

Total minimum number of credits required for a major in Mathematics leading to the B.A. degree — 120.
Total minimum number of credits required for a major in Mathematics leading to the B.S. degree — 120.
Total minimum number of credits required for a minor in Mathematics — 20.
Total minimum number of credits required for a minor in Statistics — 21.

The Department of Mathematics and Computer Science offers programs of study leading to the B.A. et B.S. in Mathematics. In addition, students may pursue a minor area of study in either Mathematics or Statistics.

Mathematics Major

The Department of Mathematics and Computer Science offers three tracks leading to the baccalaureate degree in Mathematics: the Standard Mathematics Track the Computational Mathematics Track and the Teacher Certification Track. The Teacher Certification Track provides preparation for secondary school teaching. The Standard Mathematics Track prepares students for graduate study and research in Mathematics or for careers in industry or government, depending upon the upper-level electives chosen in consultation with the faculty advisor. The Standard Track, when combined with an appropriate second major or minor area of study, can also provide an excellent foundation for professions in business and management, economics, law, medicine, and actuarial, computing, engineering, environmental, and physical sciences. Computational Mathematics is increasingly important in all fields of sciences, especially such fields as oil and gas exploration. In addition, the Computational Mathematics Track offers students with a strong interest in both mathematics and computer science the opportunity to explore the relationships between the two fields. All three tracks share a common core of study in discrete mathematics, analysis, probability, and statistics.

In the Standard and Teacher Certification Tracks, students may opt for either a Bachelor of Arts or a Bachelor of Science degree. The B.A. degree is intended for those who wish to elect more humanities and social science courses, whereas the B.S. degree requires greater concentration in the natural and physical sciences. The Computational Mathematics Track is offered only as a Bachelor of Science degree.

Students interested in Secondary Education certification should make an appointment with the chairperson of the Education Department as early in their program of study as possible in order to plan their professional studies. The Teacher Certification Track is specifically designed to incorporate requirements necessary for certification in Secondary Education. Upon completion of all requirements, students receiving a degree in mathematics with Secondary Teaching certification will also receive a minor in Secondary Education. Questions regarding the requirements for the minor in Secondary Education should be directed to the Education Department.


MATH - quick and easy


Finite and infinite intervals

In the previous chapter only finite intervals were presented.
A finite interval (bounded interval) is an interval, whose both endpoints are numbers (also variables, which as you know represent unknown numbers).
Exemple:


Inequality:



This type of endpoints (numbers) are called: finite endpoints .

An infinite interval is an interval, whose at least one endpoint is an infinity.
The infinity is denoted with a symbol:
What is more, there is the minus infinity and the plus infinity .


Exemple:

The interval represents numbers from 3 (without 3, because there is a parenthesis) to plus infinity .
It represents all numbers greater than 3 .


Inequality:

The interval is left-bounded.

An infinite interval can be:

- left-bounded, if the left endpoint is a number example:


- right-bounded, if the right endpoint is a number example:


- unbounded, none of the endpoints are numbers, both of them are infinite endpoints:


The unbounded interval is in fact a set of all numbers the set of real numbers:


Another example:



The interval represents numbers from minus infinity to 4 .
It represents all numbers less than or equal to 4 .

Inequality:


The interval is right-bounded.



Open and close intervals

Basically it s all about the types of brackets: a square bracket or a parenthesis .

You already know that when there is a square bracket the endpoint belongs to the interval, when there is a parenthesis - the endpoint doesn t belong to the interval.
In the first possibility ( a square bracket ) the endpoint is said to be closed ,
In the second possibility ( a parenthesis ) the endpoint is said to be open .

The interval can be called:
closed both brackets are square brackets, example: [1, 7]
left-closed only the left bracket is a square bracket, example: [2, 4)
right-closed only the right bracket is a square bracket, example: (-3, 8]
open both brackets are parentheses, example: (-7, -1)
left-open only the left bracket is a parenthesis, example: (-1, 9]
right-open only the right bracket is a parenthesis, example: [9, 11)

For many intervals two descriptions are appropriate at the same time.
Exemple:


The interval can be called: left-open or right-closed .

One description is enough.

When the interval is left-open it is right-closed .
When the interval is right-open it is left-closed .

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