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4.19 : Résoudre des équations avec des fractions (partie 2) - Mathématiques


Résoudre des équations avec un coefficient de fraction

Lorsque nous avons une équation avec un coefficient de fraction, nous pouvons utiliser la propriété de multiplication de l'égalité pour rendre le coefficient égal à (1). Par exemple, dans l'équation :

[dfrac{3}{4}x = 24 onumber ]

Le coefficient de (x) est (dfrac{3}{4}). Pour résoudre (x), nous avons besoin que son coefficient soit (1). Puisque le produit d'un nombre et de sa réciproque est (1), notre stratégie ici sera d'isoler (x) en multipliant par la réciproque de (dfrac{3}{4}). Nous le ferons dans l'exemple (PageIndex{1}).

Exemple (PageIndex{8}): résoudre

Résoudre : (dfrac{3}{4}x = 24).

Solution

Multipliez les deux côtés par l'inverse du coefficient.( extcolor{red}{dfrac{4}{3}} cdot dfrac{3}{4} x = extcolor{red}{dfrac{4}{3}} cdot 24 )
Simplifier.(1x = dfrac{4}{3} cdot dfrac{24}{1} )
Multiplier.(x = 32 )

Vérifier:

Remplacez x = 32.(dfrac{3}{4} cdot 32 stackrel{?}{=} 24 )
Réécrivez 32 sous forme de fraction.(dfrac{3}{4} cdot dfrac{32}{1} stackrel{?}{=} 24 )
Multiplier. L'équation est vraie.(24 = 24 ; coche)

Notez que dans l'équation (dfrac{3}{4} x = 24), nous aurions pu diviser les deux côtés par (dfrac{3}{4}) pour obtenir (x) par lui-même. Diviser revient à multiplier par l'inverse, nous obtiendrions donc le même résultat. Mais la plupart des gens s'accordent à dire que multiplier par l'inverse est plus facile.

Exercice (PageIndex{15})

Résoudre : (dfrac{2}{5}n = 14).

Réponse

(35)

Exercice (PageIndex{16})

Résoudre : (dfrac{5}{6}y = 15).

Réponse

(18)

Exemple (PageIndex{9}): résoudre

Résoudre : (− dfrac{3}{8}w = 72).

Solution

Le coefficient est une fraction négative. Rappelez-vous qu'un nombre et son inverse ont le même signe, donc l'inverse du coefficient doit également être négatif.

Multipliez les deux côtés par l'inverse de (− dfrac{3}{8}).( extcolor{red}{- dfrac{8}{3}} left(- dfrac{3}{8} w ight) = left( extcolor{red}{- dfrac{8} {3}}droit) 72 )
Simplifier; les réciproques se multiplient à un.(1w = - dfrac{8}{3} cdot dfrac{72}{1} )
Multiplier.(w = -192)

Vérifier:

Soit w = −192.(- dfrac{3}{8} (-192) stackrel{?}{=} 72 )
Multiplier. Il vérifie.(72 = 72 ; coche )

Exercice (PageIndex{17})

Résoudre : (− dfrac{4}{7}a = 52).

Réponse

(-91)

Exercice (PageIndex{18})

Résoudre : (− dfrac{7}{9}w = 84).

Réponse

(-108)

Traduire des phrases en équations et résoudre

Nous avons maintenant couvert les quatre propriétés de l'égalité : soustraction, addition, division et multiplication. Nous allons les énumérer tous ensemble ici pour une référence facile.

Tableau (PageIndex{2})
Propriété de soustraction de l'égalité: Pour tout nombre réel a, b et c, si a = b, alors a − c = b − c.Propriété d'addition de l'égalité: Pour tout nombre réel a, b et c, si a = b, alors a + c = b + c.
Propriété de division de l'égalité: Pour tout nombre a, b et c, où c 0 si a = b, alors (dfrac{a}{c} = dfrac{b}{c}).Propriété de multiplication de l'égalité: Pour tout nombre réel a, b et c si a = b, alors ac = bc.

Lorsque vous additionnez, soustrayez, multipliez ou divisez la même quantité des deux côtés d'une équation, vous avez toujours l'égalité. Dans les quelques exemples suivants, nous allons traduire des phrases en équations, puis résoudre les équations. Il peut être utile de consulter le tableau de traduction dans Évaluer, simplifier et traduire les expressions.

Exemple (PageIndex{10}): résoudre

Traduire et résoudre : (n) divisé par (6) est (−24).

Solution

Traduire.
Multipliez les deux côtés par 6.( extcolor{red}{6} cdot dfrac{n}{6} = extcolor{red}{6} (-24))
Simplifier.(n = -144 )
Vérifier:Est-ce que -144 divisé par 6 est égal à -24 ?
Traduire.(dfrac{-144}{6} stackrel{?}{=} -24)
Simplifier. Il vérifie.(-24 = -24 ; coche )

Exercice (PageIndex{19})

Traduire et résoudre : (n) divisé par (7) est égal à (−21).

Réponse

(dfrac{n}{7} = -21); (n=-147)

Exercice (PageIndex{20})

Traduire et résoudre : (n) divisé par (8) est égal à (−56).

Réponse

(dfrac{n}{8} = -56); (n=-448)

Exemple (PageIndex{11}): résoudre

Traduire et résoudre : Le quotient de (q) et (−5) est (70).

Solution

Traduire.
Multipliez les deux côtés par -5.( extcolor{red}{-5} left(dfrac{q}{-5} ight) = extcolor{red}{-5} (70) )
Simplifier.(q = -350)
Vérifier:Le quotient de −350 et −5 est-il égal à 70 ?
Traduire.(dfrac{-350}{-5} stackrel{?}{=} 70 )
Simplifier. Il vérifie.(70 = 70 ; coche )

Exercice (PageIndex{21})

Traduire et résoudre : Le quotient de (q) et (−8) est (72).

Réponse

(dfrac{q}{-8} = 72); (q=-576)

Exercice (PageIndex{22})

Traduire et résoudre : Le quotient de (p) et (−9) est (81).

Réponse

(dfrac{p}{-9} = 81); (p=-729)

Exemple (PageIndex{12}): résoudre

Traduire et résoudre : les deux tiers de (f) sont (18).

Solution

Traduire.
Multipliez les deux côtés par (dfrac{3}{2}).( extcolor{red}{dfrac{3}{2}} cdot dfrac{2}{3} f = extcolor{red}{dfrac{3}{2}} cdot 18 )
Simplifier.(f = 27 )
Vérifier:Les deux tiers de 27 sont-ils égaux à 18 ?
Traduire.(dfrac{2}{3} (27) stackrel{?}{=} 18)
Simplifier. Il vérifie.(18 = 18 ; coche )

Exercice (PageIndex{23})

Traduire et résoudre : les deux cinquièmes de (f) sont (16).

Réponse

(dfrac{2}{5}f = 16); (f=40)

Exercice (PageIndex{24})

Traduire et résoudre : les trois quarts de (f) sont (21).

Réponse

(dfrac{3}{4}f = 21); (f=28)

Exemple (PageIndex{13}): résoudre

Traduire et résoudre : Le quotient de (m) et (dfrac{5}{6}) est (dfrac{3}{4}).

Solution

Traduire.(dfrac{m}{dfrac{5}{6}} = dfrac{3}{4} )
Multipliez les deux côtés par (frac{5}{6}) pour isoler m.(dfrac{5}{6} left(dfrac{m}{dfrac{5}{6}} ight) = dfrac{5}{6} left(dfrac{3}{4 }droite) )
Simplifier.(m = dfrac{5 cdot 3}{6 cdot 4})
Supprimez les facteurs communs et multipliez.(m = dfrac{5}{8} )

Vérifier:

Le quotient de (dfrac{5}{8}) et (dfrac{5}{6}) est-il égal à (dfrac{3}{4}) ?(dfrac{dfrac{5}{8}}{dfrac{5}{6}} stackrel{?}{=} dfrac{3}{4} )
Réécrire en tant que division.(dfrac{5}{8} div dfrac{5}{6} stackrel{?}{=} dfrac{3}{4} )
Multipliez la première fraction par l'inverse de la seconde.(dfrac{5}{8} cdot dfrac{6}{5} stackrel{?}{=} dfrac{3}{4} )
Simplifier.(dfrac{3}{4} = dfrac{3}{4} ; checkmark )

Notre solution vérifie.

Exercice (PageIndex{25})

Traduire et résoudre. Le quotient de (n) et (dfrac{2}{3}) est (dfrac{5}{12}).

Réponse

(dfrac{n}{dfrac{2}{3}} = dfrac{5}{12}); (n = dfrac{5}{18})

Exercice (PageIndex{26})

Traduire et résoudre. Le quotient de (c) et (dfrac{3}{8}) est (dfrac{4}{9}).

Réponse

(dfrac{c}{dfrac{3}{8}} = dfrac{4}{9}); (c = dfrac{1}{6})

Exemple (PageIndex{14}): résoudre

Traduire et résoudre : La somme des trois huitièmes et (x) est trois et demi.

Solution

Traduire.
Utilisez la propriété de soustraction de l'égalité pour soustraire (dfrac{3}{8}) des deux côtés.(dfrac{3}{8} + x - dfrac{3}{8} = 3 dfrac{1}{2} - dfrac{3}{8} )
Combinez les termes similaires sur le côté gauche.(x = 3 dfrac{1}{2} - dfrac{3}{8} )
Convertir un nombre mixte en fraction impropre.(x = 3 dfrac{1}{2} - dfrac{3}{8} )
Convertissez en fractions équivalentes avec un écran LCD de 8.(x = dfrac{7}{2} - dfrac{3}{8} )
Soustraire.(x = dfrac{25}{8} )
Écrivez sous forme de nombre mixte.(x = 3 dfrac{1}{8} )

Nous écrivons la réponse sous la forme d'un nombre mixte car le problème d'origine utilisait un nombre mixte. Vérification : La somme des trois huitièmes et de (3 dfrac{1}{8}) est-elle égale à trois et demi ?

Ajouter.(3 dfrac{4}{8} stackrel{?}{=} 3 dfrac{1}{2} )
Simplifier.(3 dfrac{1}{2} = 3 dfrac{1}{2} )

La solution vérifie.

Exercice (PageIndex{27})

Traduire et résoudre : La somme des cinq huitièmes et (x) est un quart.

Réponse

(dfrac{5}{8}+x = dfrac{1}{4}); (x = -dfrac{3}{8})

Exercice (PageIndex{28})

Traduire et résoudre : la différence entre un et trois quarts et (x) est de cinq sixièmes.

Réponse

(1dfrac{3}{4} - x = dfrac{5}{6}); (x = dfrac{11}{12})

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Déterminer si une fraction est une solution d'une équation

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque nombre est une solution de l'équation donnée.

  1. x − (dfrac{2}{5}) = (dfrac{1}{10}) :
    1. x = 1
    2. x = (dfrac{1}{2})
    3. x = (− dfrac{1}{2})
  2. y - (dfrac{1}{2}) = (dfrac{5}{12}):
    1. y = 1
    2. y = (dfrac{3}{4})
    3. y = (- dfrac{3}{4})
  3. h + (dfrac{3}{4}) = (dfrac{2}{5}):
    1. h = 1
    2. h = (dfrac{7}{20})
    3. h = (- dfrac{7}{20})
  4. k + (dfrac{2}{5}) = (dfrac{5}{6}):
    1. k = 1
    2. k = (dfrac{13}{30})
    3. k = (- dfrac{13}{30})

Résoudre des équations avec des fractions à l'aide des propriétés d'addition, de soustraction et de division de l'égalité

Dans les exercices suivants, résolvez.

  1. y + (dfrac{1}{3}) = (dfrac{4}{3})
  2. m + (dfrac{3}{8}) = (dfrac{7}{8})
  3. f + (dfrac{9}{10}) = (dfrac{2}{5})
  4. h + (dfrac{5}{6}) = (dfrac{1}{6})
  5. a - (dfrac{5}{8}) = (- dfrac{7}{8})
  6. c - (dfrac{1}{4}) = (- dfrac{5}{4})
  7. x − (gauche(- dfrac{3}{20} ight)) = (- dfrac{11}{20})
  8. z - (gauche(- dfrac{5}{12} droit)) = (- dfrac{7}{12})
  9. n - (dfrac{1}{6}) = (dfrac{3}{4})
  10. p − (dfrac{3}{10}) = (dfrac{5}{8})
  11. s + (gauche(- dfrac{1}{2} ight)) = (- dfrac{8}{9})
  12. k + (gauche(- dfrac{1}{3} ight)) = (- dfrac{4}{5})
  13. 5j = 17
  14. 7k = 18
  15. -4w = 26
  16. -9v = 33

Résoudre des équations avec des fractions en utilisant la propriété de multiplication de l'égalité

Dans les exercices suivants, résolvez.

  1. (dfrac{f}{4}) = -20
  2. (dfrac{b}{3}) = -9
  3. (dfrac{y}{7}) = −21
  4. (dfrac{x}{8}) = -32
  5. (dfrac{p}{-5}) = -40
  6. (dfrac{q}{-4}) = -40
  7. (dfrac{r}{-12}) = -6
  8. (dfrac{s}{-15}) = -3
  9. −x = 23
  10. −y = 42
  11. −h = (− dfrac{5}{12})
  12. −k = (− dfrac{17}{20})
  13. (dfrac{4}{5})n = 20
  14. (dfrac{3}{10})p = 30
  15. (dfrac{3}{8})q = -48
  16. (dfrac{5}{2})m = -40
  17. (- dfrac{2}{9})a = 16
  18. (- dfrac{3}{7})b = 9
  19. (- dfrac{6}{11})u = -24
  20. (- dfrac{5}{12})v = -15

Pratique Mixte

Dans les exercices suivants, résolvez.

  1. 3x = 0
  2. 8y = 0
  3. 4f = (dfrac{4}{5})
  4. 7g = (dfrac{7}{9})
  5. p + (dfrac{2}{3}) = (dfrac{1}{12})
  6. q + (dfrac{5}{6}) = (dfrac{1}{12})
  7. (dfrac{7}{8})m = (dfrac{1}{10})
  8. (dfrac{1}{4})n = (dfrac{7}{10})
  9. (- dfrac{2}{5}) = x + (dfrac{3}{4})
  10. (- dfrac{2}{3}) = y + (dfrac{3}{8})
  11. (dfrac{11}{20}) = −f
  12. (dfrac{8}{15}) = -d

Traduire des phrases en équations et résoudre

Dans les exercices suivants, traduisez en une équation algébrique et résolvez.

  1. n divisé par huit est -16.
  2. n divisé par six est -24.
  3. m divisé par -9 est -7.
  4. m divisé par -7 est -8.
  5. Le quotient de f et -3 est -18.
  6. Le quotient de f et -4 est -20.
  7. Le quotient de g et douze est 8.
  8. Le quotient de g et neuf est 14.
  9. Les trois quarts de q font 12.
  10. Les deux cinquièmes de q font 20.
  11. Les sept dixièmes de p sont -63.
  12. Les quatre neuvièmes de p sont -28.
  13. m divisé par 4 est égal à moins 6.
  14. Le quotient de h et 2 est 43.
  15. Les trois quarts de z sont égaux à 15.
  16. Le quotient de a et (dfrac{2}{3}) est (dfrac{3}{4}).
  17. La somme des cinq sixièmes et de x est (dfrac{1}{2}).
  18. La somme des trois quarts et de x est (dfrac{1}{8}).
  19. La différence entre y et un quart est (- dfrac{1}{8}).
  20. La différence entre y et un tiers est (- dfrac{1}{6}).

Mathématiques de tous les jours

  1. Achats Teresa a acheté une paire de chaussures en solde pour 48 $. Le prix de vente était (dfrac{2}{3}) du prix régulier. Trouvez le prix régulier des chaussures en résolvant l'équation (dfrac{2}{3})p = 48
  2. Théâtre La table dans une maison de jeu pour enfants est (dfrac{3}{5}) d'une table de taille adulte. La table de la maison de jeu mesure 18 pouces de haut. Trouvez la hauteur d'une table de taille adulte en résolvant l'équation (dfrac{3}{5})h = 18.

Exercices d'écriture

  1. L'exemple 4.100 décrit trois méthodes pour résoudre l'équation −y = 15. Quelle méthode préférez-vous ? Pourquoi?
  2. Richard pense que la solution de l'équation (dfrac{3}{4})x = 24 est 16. Explique pourquoi Richard a tort.

Auto contrôle

(a) Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

(b) Dans l'ensemble, après avoir examiné la liste de contrôle, pensez-vous que vous êtes bien préparé pour le prochain chapitre ? Pourquoi ou pourquoi pas?


ÉQUATIONSAVEC DES FRACTIONS

P OUR RÉSOUDRE UNE ÉQUATION AVEC des fractions, on la transforme en une équation sans fractions -- que l'on sait résoudre. La technique s'appelle l'effacement des fractions.

Solution . Effacer les fractions comme suit :

Multipliez les deux côtés de l'équation - chaque terme - par le LCM des dénominateurs. Chaque dénominateur se divisera alors en son multiple. Nous aurons alors une équation sans fractions.

Le LCM de 3 et 5 est 15. Par conséquent, multipliez les deux côtés de l'équation par 15.

15 &point médian X
3
+ 15 &point médian x &moins 2
5
= 15 &point médian 6

A gauche, distribuez 15 à chaque terme. Chaque dénominateur va maintenant se diviser en 15 - c'est le point - et nous avons l'équation simple suivante qui a été "nettoyée" des fractions :

5 x + 3( x &moins 2) = 90.
Il se résout facilement comme suit :
5 x + 3 x &moins 6 = 90
8 x = 90 + 6
X = 96
8
= 12.

Nous disons "multiplier" les deux côtés de l'équation, mais nous profitons du fait que l'ordre dans lequel nous multiplions ou divisons n'a pas d'importance. (Leçon 1.) Par conséquent, nous divisons le LCM par chaque dénominateur d'abord, et de cette façon sans fractions.

On choisit un multiple de chaque dénominateur, car chaque dénominateur en sera alors un diviseur.

Exemple 2. Effacer les fractions et résoudre pour x :

Solution . Le LCM de 2, 6 et 9 est de 18. (Leçon 23 d'arithmétique.) Multipliez les deux côtés par 18 -- et annulez.

Il ne devrait pas être nécessaire d'écrire réellement 18. L'étudiant devrait simplement regarder et voir que 2 ira dans 18 neuf (9) fois. Ce terme devient donc 9 x .

Ensuite, regardez , et voyez que 6 sera en 18 trois (3) fois. Ce terme devient donc 3 · &moins5 x = &moins15 x .

Enfin, regardez , et voyez que 9 sera en 18 deux (2) fois. Ce terme devient donc 2 · 1 = 2.

Voici l'équation corrigée, suivie de sa solution :

9 x &moins 15 x = 2
&moins6 x = 2
X = 2
&moins6
X = &moins 1
3

Solution . C'est une équation avec une fraction. Effacer les fractions en multipliant les deux côtés par 2:

5 x &moins 2 = 4x + 8
5 x &moins 4 x = 8 + 2
X = 10.

Dans les problèmes suivants, débarrassez-vous des fractions et résolvez pour x :

Pour voir chaque réponse, passez votre souris sur la zone colorée.
Pour couvrir à nouveau la réponse, cliquez sur « Actualiser » (« Recharger »).
Faites le problème vous-même d'abord !

Problème 1. X
2
&moins X
5
= 3
Le LCM est de 10 . Voici l'équation corrigée et sa solution :
5 fois &moins 2 x = 30
3 fois = 30
X = 10.

En résolvant une équation avec des fractions, la ligne suivante que vous écrivez --

Problème 2. X
6
= 1
12
+ X
8
Le LCM est de 24 . Voici l'équation corrigée et sa solution :
4 x = 2 + 3 x
4 x &moins 3 x = 2
X = 2
Problème 3. x &moins 2
5
+ X
3
= X
2
Le LCM est de 30 . Voici l'équation corrigée et sa solution :
6 (x &moins 2) + 10 x = 15 fois
6 x &moins 12 + 10 x = 15 fois
16 x &moins 15 x = 12
X = 12.

Problème 4. Une fraction égale à une fraction.

x &moins 1
4
= X
7
Le LCM est de 28 . Voici l'équation corrigée et sa solution :
7( x &moins 1) = 4 x
7 x &moins 7 = 4 x
7 x &moins 4 x = 7
3 fois = 7
X = 7
3

Nous voyons que lorsqu'une seule fraction est égale à une seule fraction, alors l'équation peut être effacée par "multiplication croisée".

Problème 5. x &moins 3
3
= x &moins 5
2
Voici l'équation corrigée et sa solution :
2( x &moins 3) = 3( x &moins 5)
2 x &moins 6 = 3 x &moins 15
2 x &moins 3 x = &moins 15 + 6
&moins x = &moins9
X = 9
Problème 6. x &moins 3
x &moins 1
= x + 1
x + 2
Voici l'équation corrigée et sa solution :
( x &moins 3)( x + 2) = ( x &moins 1)( x + 1)
x ² &moins x &moins 6 = x ² &moins 1
&moins x = &moins1 + 6
&moins x = 5
X = &moins5.
Problème 7. 2 x &moins 3
9
+ x + 1
2
= x &moins 4
Le LCM est de 18 . Voici l'équation corrigée et sa solution :
4 x &moins 6 + 9 x + 9 = 18 x &moins 72
13x + 3 = 18 x &moins 72
13 x &moins 18 x = &moins 72 &moins 3
&moins5 x = &moins75
X = 15.
Problème 8. 2
X
&moins 3
8 x
= 1
4
Le LCM est de 8 x . Voici l'équation corrigée et sa solution :
16 &moins 3 = 2 x
2 x = 13
X = 13
2

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5.6 Ratios et taux

Lorsque vous faites une demande de prêt hypothécaire, l'agent de crédit comparera votre dette totale à votre revenu total pour décider si vous êtes admissible au prêt. Cette comparaison s'appelle le ratio dette/revenu. Un rapport compare deux quantités mesurées avec la même unité. Si nous comparons a a et b b , le rapport s'écrit a à b , a b , ou a : b . a à b , a b , ou a : b .

Rapports

Un rapport compare deux nombres ou deux quantités mesurées avec la même unité. Le rapport de a a à b b s'écrit a à b , a b , ou a : b . a à b , a b , ou a : b .

Dans cette section, nous utiliserons la notation fractionnaire. Lorsqu'un rapport est écrit sous forme de fraction, la fraction doit être simplifiée. S'il s'agit d'une fraction impropre, nous ne la changeons pas en un nombre fractionnaire. Parce qu'un rapport compare deux quantités, nous laisserions un rapport sous la forme 4 1 4 1 au lieu de le simplifier en 4 4 afin que nous puissions voir les deux parties du rapport.

Exemple 5.58

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : ⓐ 15 à 27 15 à 27 ⓑ 45 à 18 . 45 à 18 .

Solution

Nous laissons le rapport dans comme une fraction impropre.

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : ⓐ 21 à 56 21 à 56 ⓑ 48 à 32 . 48 à 32 .

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : ⓐ 27 à 72 27 à 72 ⓑ 51 à 34 . 51 à 34 .

Ratios impliquant des décimales

Nous travaillerons souvent avec des ratios de décimales, surtout lorsque nous avons des ratios impliquant de l'argent. Dans ces cas, nous pouvons éliminer les décimales en utilisant la propriété des fractions équivalentes pour convertir le rapport en une fraction avec des nombres entiers dans le numérateur et le dénominateur.

Vous n'avez pas à écrire chaque étape lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur par des puissances de dix. Tant que vous déplacez les deux décimales du même nombre de positions, le rapport restera le même.

Exemple 5.59

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction de nombres entiers :

Solution

Essayez-le 5.117

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : ⓐ 4,6 à 11,5 4,6 à 11,5 ⓑ 2,3 à 0,69 . 2,3 à 0,69 .

Essayez-le 5.118

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : ⓐ 3,4 à 15,3 3,4 à 15,3 ⓑ 3,4 à 0,68 . 3,4 à 0,68 .

Certains rapports comparent deux nombres mixtes. N'oubliez pas que pour diviser des nombres fractionnaires, vous devez d'abord les réécrire sous forme de fractions impropres.

Exemple 5.60

Écrivez le rapport de 1 1 4 à 2 3 8 1 1 4 à 2 3 8 sous forme de fraction.

Solution

Essayez-le 5.119

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : 1 3 4 à 2 5 8 . 1 3 4 à 2 5 8 .

Essayez-le 5.120

Écrivez chaque rapport sous forme de fraction : 1 1 8 à 2 3 4 . 1 1 8 à 2 3 4 .

Applications des ratios

Une application réelle des ratios qui affecte de nombreuses personnes consiste à mesurer le cholestérol dans le sang. Le rapport entre le cholestérol total et le cholestérol HDL est une façon pour les médecins d'évaluer la santé globale d'une personne. Un rapport inférieur à 5 5 à 1 1 est considéré comme bon.

Exemple 5.61

Solution

D'abord, écris les mots qui expriment le rapport. Nous voulons connaître le rapport entre le cholestérol total d'Hector et son cholestérol HDL.

Essayez-le 5.121

Trouvez le rapport du patient entre le cholestérol total et le cholestérol HDL en utilisant les informations fournies.

Essayez-le 5.122

Trouvez le rapport entre le cholestérol total et le cholestérol HDL du patient à l'aide des informations fournies.

Rapports de deux mesures dans différentes unités

Pour trouver le rapport de deux mesures, il faut s'assurer que les quantités ont été mesurées avec la même unité. Si les mesures ne sont pas dans les mêmes unités, nous devons d'abord les convertir dans les mêmes unités.

Nous savons que pour simplifier une fraction, nous divisons les facteurs communs. De même dans un rapport de mesures, nous divisons l'unité commune.

Exemple 5.62

Les directives de l'Americans with Disabilities Act (ADA) pour les rampes de fauteuil roulant exigent une élévation verticale maximale de 1 1 pouce pour chaque 1 1 pied de course horizontale. Quel est le rapport entre la montée et la course ?

Solution

Dans un rapport, les mesures doivent être dans les mêmes unités. Nous pouvons changer les pieds en pouces, ou les pouces en pieds. Il est généralement plus facile de passer à l'unité plus petite, car cela évite d'introduire plus de fractions dans le problème.

Écris les mots qui expriment le rapport.

Essayez-le 5.123

Trouvez le rapport de la première longueur à la deuxième longueur : 32 32 pouces pour 1 1 pied.

Essayez-le 5.124

Trouvez le rapport de la première longueur à la deuxième longueur : 1 1 pied à 54 54 pouces.

Écrire un taux sous forme de fraction

Souvent, nous voulons comparer deux types de mesures différents, tels que les miles aux gallons. Pour faire cette comparaison, nous utilisons un taux . Des exemples de taux sont 120 120 miles en 2 2 heures, 160 160 mots en 4 4 minutes et 5 $ 5 dollars par 64 64 onces.

Un taux compare deux quantités d'unités différentes. Un taux est généralement écrit sous forme de fraction.

Lors de l'écriture d'une fraction sous forme de taux, nous mettons le premier montant donné avec ses unités au numérateur et le second montant avec ses unités au dénominateur. Lorsque les taux sont simplifiés, les unités restent au numérateur et au dénominateur.

Exemple 5.63

Solution

Écrivez le taux sous forme de fraction : 492 492 milles en 8 8 heures.

Écrivez le taux sous forme de fraction : 242 242 milles en 6 6 heures.

Trouver des taux unitaires

Taux unitaire

Un taux unitaire est un taux dont le dénominateur est 1 1 unité.

Deux taux que nous utilisons souvent lorsque nous conduisons peuvent être écrits sous différentes formes, comme indiqué :

Un autre exemple de taux unitaire que vous connaissez peut-être déjà est le taux de rémunération horaire. Il est généralement exprimé comme le montant d'argent gagné pour une heure de travail. Par exemple, si vous êtes payé 12,50 $ 12,50 $ pour chaque heure que vous travaillez, vous pouvez écrire que votre taux de rémunération horaire (unitaire) est de 12,50 $/heure 12,50 $/heure (lire 12,50 $ 12,50 $ par heure.)

Pour convertir un taux en taux unitaire, nous divisons le numérateur par le dénominateur. Cela nous donne un dénominateur de 1 . 1 .

Exemple 5.64

Solution

Le taux de rémunération horaire d'Anita est de 12 $ 12 $ l'heure.

Exemple 5.65

Solution

Commencez avec un taux de miles en gallons. Puis divisez.

Trouver le prix unitaire

Parfois, nous achetons des articles ménagers courants «en vrac», où plusieurs articles sont emballés ensemble et vendus pour un prix. Pour comparer les prix de forfaits de différentes tailles, nous devons trouver le prix unitaire. Pour trouver le prix unitaire, divisez le prix total par le nombre d'articles. Un prix unitaire est un taux unitaire pour un article.

Prix ​​unitaire

Un prix unitaire est un taux unitaire qui donne le prix d'un article.

Exemple 5.66

Solution

Que nous demande-t-on de trouver ? On nous demande de trouver le prix unitaire, qui est le prix par bouteille.

Trouvez le prix unitaire. Arrondissez votre réponse au cent près si nécessaire.

Trouvez le prix unitaire. Arrondissez votre réponse au cent près si nécessaire.

Les prix unitaires sont très utiles si vous faites des comparaisons. Le mieux acheter est l'article dont le prix unitaire est le plus bas. La plupart des épiceries indiquent le prix unitaire de chaque article sur les étagères.

Exemple 5.67

Paul achète du détergent à lessive. À l'épicerie, le détergent liquide est au prix de 14,99 $ 14,99 $ pour 64 64 brassées de lessive et la même marque de détergent en poudre est au prix de 15,99 $ 15,99 $ pour 80 80 brassées.

Quel est le meilleur achat, la lessive liquide ou en poudre ?

Solution

Pour comparer les prix, on trouve d'abord le prix unitaire pour chaque type de lessive.

Trouvez chaque prix unitaire, puis déterminez le meilleur achat. Arrondissez au centime le plus proche si nécessaire.

Trouvez chaque prix unitaire, puis déterminez le meilleur achat. Arrondissez au centime le plus proche si nécessaire.

Remarquez dans l'exemple 5.67 que nous avons arrondi le prix unitaire au cent le plus proche. Parfois, nous devrons peut-être reporter la division à un autre endroit pour voir la différence entre les prix unitaires.

Traduire des phrases en expressions avec des fractions

Avez-vous remarqué que les exemples de cette section utilisaient les mots de comparaison rapport de, à, par, dans, pour, sur, et de? Lorsque vous traduisez des phrases qui incluent ces mots, vous devez penser soit au ratio, soit au taux. Si les unités mesurent la même quantité (longueur, temps, etc.), vous avez un rapport. Si les unités sont différentes, vous avez un tarif. Dans les deux cas, vous écrivez une fraction.

Exemple 5.68

Traduisez la phrase en une expression algébrique :

Solution

Traduisez la phrase en une expression algébrique.

Traduisez la phrase en une expression algébrique.

Médias

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Section 5.6 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Écrire un rapport sous forme de fraction

Dans les exercices suivants, écrivez chaque rapport sous forme de fraction.

Écrire un taux sous forme de fraction

Dans les exercices suivants, écrivez chaque taux sous forme de fraction.

Trouver des taux unitaires

Dans les exercices suivants, trouvez le taux unitaire. Arrondissez à deux décimales si nécessaire.

Trouver le prix unitaire

Dans les exercices suivants, trouvez le prix unitaire. Arrondissez au cent le plus proche.

Snack packs de biscuits à 12 12 pour 5,79 $ 5,79 $

L'épicerie a un spécial sur les macaronis au fromage. Le prix est de 3,87 $ 3,87 $ pour 3 3 boîtes. Combien coûte chaque boîte ?

L'animalerie a un spécial sur la nourriture pour chats. Le prix est de 4,32 $ 4,32 $ pour 12 12 canettes. Combien chacun peut coûter ?

Dans les exercices suivants, trouvez chaque prix unitaire, puis identifiez le meilleur achat. Arrondissez à trois décimales.

Traduire des phrases en expressions avec des fractions

Dans les exercices suivants, traduisez la phrase anglaise en une expression algébrique.

Mathématiques de tous les jours

Exercices d'écriture

Préféreriez-vous que le rapport de votre revenu sur le revenu de votre ami soit de 3/1 3/1 ou 1/3 ? 1/3 ? Expliquez votre raisonnement.

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour devenir confiant pour tous les objectifs ?

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    • Auteurs : Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Préalgèbre 2e
    • Date de parution : 11 mars 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/5-6-ratios-and-rate

    © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    Test de mathématiques de l'unité 4 du tronc commun de 4e année : parties 2

    **Ce test est également inclus dans un ensemble de tests de mathématiques d'un an qui comprend 6 tests unitaires, couvrant toutes les normes de mathématiques de base communes de 4e année** ici : Ensemble de tests de mathématiques de 4e année : TOUTES les normes de base communes-6 unités-année entière

    Ce test de mathématiques à choix multiples de l'unité 4 est aligné sur les normes de base communes, en particulier pour les normes de performance de base communes de Géorgie dans l'unité 4. Vous pouvez télécharger gratuitement ma carte du programme pour les normes spécifiques par unité ici : Carte du programme de base commune de 4e année

    Ce test est composé de 30 questions à choix multiples qui incluent des problèmes de mots et un vocabulaire de base commun. Donnez à chaque élève le test au début de l'unité en tant que prétest, puis refaites-le à la fin de l'unité en tant que posttest. De cette façon, vous pouvez suivre la croissance de chaque élève. Chaque test est fourni avec un tableau de croissance afin que les élèves et les parents puissent voir visuellement leur croissance.

    MCC4.NF.4 Appliquer et étendre les compréhensions antérieures de la multiplication pour multiplier une fraction par un nombre entier.

    MCC4.NF.5 Exprimez une fraction avec le dénominateur 10 comme une fraction équivalente avec le dénominateur 100, et utilisez cette technique pour additionner deux fractions avec les dénominateurs respectifs 10 et 100. Par exemple, exprimez 3/10 comme 30/100, et ajoutez 3/ 10 + 4/100 = 34/1001.

    MCC4.NF.6 Utiliser la notation décimale pour les fractions avec les dénominateurs 10 ou 100. Par exemple, réécrivez 0,62 en 62/100 décrivez une longueur comme 0,62 mètre localisez 0,62 sur un diagramme à droite numérique.


    4.19 : Résoudre des équations avec des fractions (partie 2) - Mathématiques

    Cette unité se concentrera sur la compréhension et la reconnaissance du comportement des différentes familles de fonctions, leur domaine et leur portée, et ce qui change lorsque les fonctions sont combinées. Les sujets que nous aborderons sont :

    6. Fractions partielles et autres fonctions rationnelles

    7. Fonctions et équations à valeur absolue

    9. Classification des fonctions selon leur mappage

    10. Classification des fonctions selon leur parité

    11. Opérations avec fonctions

    13. Transformations de fonctions

    14. Propriétés des exposants

    15. Fonctions et équations exponentielles

    16. Propriétés des logarithmes

    17. Fonctions et équations logarithmiques

    18. Fonctions trigonométriques

    19. Applications et modélisation

    Dans cette leçon, vous apprendrez : (Ceci est généralement supposé connu pour HL)

    - les notions de domaine et de portée.

    - comment distinguer une fonction d'une relation en utilisant le test de la ligne verticale.

    - identifier les graphes, le comportement final, le domaine et la gamme des fonctions linéaires.

    - Lire : Mathematics Analysis and Approaches NS par Oxford, pages 72 - 85

    - Regarder : Cours vidéo partie I sur le domaine et la gamme.

    - Regarder : Leçon vidéo partie II sur le test de la ligne verticale

    - Enquête : Veuillez travailler sur cette enquête concernant la fonction linéaire. Solutions

    - Si vous avez des questions à un moment donné, veuillez les poser maintenant.

    - partie III Sur les fonctions linéaires et quadratiques

    Devoir : Créez un compte gratuit sur inThinking au lien du cours Mathematics AA HL. Allez dans MAA puis Fonctions, puis Equation d'une droite et faites les deux quiz et les quatre ESQ.

    Dans cette leçon, vous apprendrez : (Ceci est généralement supposé connu pour HL)

    - pour comprendre la différence entre graphique et croquis.

    - pour identifier les caractéristiques importantes sur le graphique d'une fonction, telles que les abscisses, les ordonnées, les maxima, les minima, les asymptotes.

    - identifier les graphes, le comportement final, le domaine et l'étendue des fonctions linéaires, quadratiques, exponentielles, logarithmiques, rationnelles, radicales et trigonométriques

    - Lire : Mathematics Analysis and Approaches NS par Oxford, pages 72 - 85

    - partie III Sur les fonctions linéaires et quadratiques

    - Investigation : Merci de travailler sur cette investigation concernant les graphes de fonctions et la fonction quadratique.

    - Soumettre : regardez l'image de l'Enquête 5, à la page 83. Utilisez-la comme source d'inspiration pour créer votre propre personnage original. Veuillez utiliser Geogebra ou Desmos pour créer votre propre personnage, en jouant avec des quadratiques et des lignes. Soumettez votre photo ici.

    - Si vous avez des questions à un moment donné, veuillez les poser maintenant.

    Invite de la tâche 3 : Analyse des taux de diminution et d'augmentation de la population pour diverses espèces menacées. Combien de temps faudra-t-il pour les ramener à des niveaux sains ?

    Tâche 4 : Choisissez votre propre sujet.

    Terminez les exercices sur les fonctions quadratiques.

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - déterminer le domaine et l'étendue des fonctions rationnelles et radicales.

    - trouver les asymptotes verticales et horizontales des fonctions rationnelles.

    - Lire : Mathematics Analysis and Approaches NS d'Oxford, pages 86 - 90.

    - Regarder : Vidéo leçons partie I, partie II, Exemples (facultatif) partie III.

    - Do : Mathematics Analysis and Approaches NS d'Oxford, Exercice 2C (page 89) et Exercice 2D (page 90).

    3 fonctions rationnelles. Comment as-tu fais?

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - déterminer le domaine et l'étendue des fonctions rationnelles et radicales.

    - interpréter et représenter graphiquement les fonctions par morceaux manuellement et à l'aide de la technologie.

    - Lire : Mathematics Analysis and Approaches NS d'Oxford, pages 86 - 90.

    - Contrôle des devoirs : Dernière leçon, on vous a demandé de répondre aux questions sur l'application des fonctions rationnelles. Comment as-tu fais? Voir les solutions ici.

    - Fonctions d'enquête par morceaux. Vous n'aurez qu'une seule leçon pour mener à bien cette enquête.

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - de classer les fonctions selon leur mapping. (Partie I)

    - classer les fonctions selon leur parité. (Partie II)

    - Lire : Analyse et approches mathématiques par Oxford pages 102 - 108.

    - Do : Analyse et approches mathématiques par oxford, exercice 2K, page 105.

    - Do : Analyse et approches mathématiques par oxford, exercice 2L, page 108.

    - Soumettre : Considérez les informations que vous avez apprises jusqu'à présent sur les fonctions. Veuillez soumettre les réponses aux exercices inclus dans le formulaire suivant.

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des fonctions. (Partie I)

    - identifier le domaine et l'étendue des fonctions résultantes. (Partie I)

    - faire la composition des fonctions (Partie II)

    - identifier le domaine et l'étendue d'une composition. (Partie II)

    - Lire : Analyse et approches mathématiques par Oxford pages 108 - 111.

    - Regarder : Leçons vidéo Partie I, Partie II, Partie III (exemples 1, 2), Partie IV (Exemples 3, 4, 5)

    - Do : Analyse et approches mathématiques par oxford, exercice 2M, page 111.

    - À faire : écrivez un commentaire dans le flux de cette leçon en donnant votre propre exemple d'une fonction qui est la composition de trois fonctions, f(g(h(x))) et indiquez les fonctions individuelles f, g et h. (exemple : f(g(h(x)))=1-(x+1)^2, où f(x)=1-x, g(x)=x^2 et h(x)=x +1)

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - Le concept de fonction identitaire. (Partie II)

    - la notion de fonction inverse et comment les trouver. (Partie I)

    - la notion d'auto inverse. (Partie II)

    - comment trouver le domaine et l'étendue d'une fonction inverse. (Partie III)

    - Lire : Analyse et approches mathématiques par Oxford pages 112 - 116.

    - Do : Analyse et approches mathématiques par oxford, exercice 2N, page 116.

    - Soumettre : Veuillez soumettre les réponses aux exercices inclus dans le formulaire suivant.

    Dans cette leçon, vous apprendrez :

    - transformer des fonctions à l'aide de déplacements verticaux et horizontaux. (Partie I)

    - to transform functions using magnifications. (Part II)

    - to transform functions using reflections. (Part II)

    - Read: Mathematics analysis and approaches by Oxford pages 117 - 127.

    - Do: Mathematics Analysis and approaches by oxford, exercise 2O, page 118, questions 3, 5, and 6.

    - Do: Mathematics Analysis and approaches by oxford, exercise 2P, page 120, question 2.

    - Do: Mathematics Analysis and approaches by oxford, exercise 2Q, page 126, questions 1 and 3.

    - Do: play this kahoot! (Link expires May 15th) Game PIN: 05886179

    This is a practice lesson. In this lesson you will continue to learn:

    - How to graph functions with multiple transformations

    - How to write a function's equation undergoing multiple transformations

    - Read: Mathematics analysis and approaches by Oxford pages 127 - 139.

    - Watch: Video lessons Part I (Further Examples).

    - Do: Mathematics Analysis and approaches by oxford, exercise 2R, page 134, question 2.

    - Do: Mathematics Analysis and approaches by oxford, exercise 2S, page 139.

    - Submit: Please submit the answers to the exercises included in the following form.

    For this lesson you need to review beforehand:

    - Properties of exponents (Bonus video)

    In this lesson you will learn:

    - How to solve equations with exponentials algebraically. (Part I)

    - How to solve equations with exponentials using technology. (Part II)

    - Graphs of exponential functions. (Part I)

    - Read: Mathematics Analysis and approaches HL by Oxford, pages 460 - 464

    - Read: Mathematics analysis and approaches HL by Oxford, pages 473 - 475 (476* Read only up to the yellow information box and recommend doing investigation 11 (to understand number e), you do not need to be concerned about the text that follows this box yet AND investigation 12 question 6.)

    - Watch: Video lessons part I, Part II, Bonus (optional - watch first)

    - Do: Mathematics Analysis and approaches HL by Oxford, exercise 7C questions 2, 6, 8, page 464.
    -Do: Mathematics Analysis and Approaches HL by Oxford, exercise 7E questions 3, 4, 5, page 481-482.

    - Do: Answer the question in the classroom for the corresponding lesson 19.


    4.19: Solve Equations with Fractions (Part 2) - Mathematics

    SC--College- and Career-Ready Standards Adopted: 2015

    1: The Number System

    1.1: Extend prior knowledge of operations with positive rational numbers to add and to subtract all rational numbers and represent the sum or difference on a number line.

    1.1.1: Understand that the additive inverse of a number is its opposite and their sum is equal to zero.

    1.1.2: Understand that the sum of two rational numbers (p + q) represents a distance from p on the number line equal to |q| where the direction is indicated by the sign of q.

    1.1.3: Translate between the subtraction of rational numbers and addition using the additive inverse, p − q = p + (−q).

    1.1.5: Apply mathematical properties (e.g., commutative, associative, distributive, or the properties of identity and inverse elements) to add and subtract rational numbers.

    1.2: Extend prior knowledge of operations with positive rational numbers to multiply and to divide all rational numbers.

    1.2.2: Understand sign rules for multiplying rational numbers.

    1.2.3: Understand sign rules for dividing rational numbers and that a quotient of integers (with a non-zero divisor) is a rational number.

    1.2.4: Apply mathematical properties (e.g., commutative, associative, distributive, or the properties of identity and inverse elements) to multiply and divide rational numbers.

    1.2.5: Understand that some rational numbers can be written as integers and all rational numbers can be written as fractions or decimal numbers that terminate or repeat.

    1.3: Apply the concepts of all four operations with rational numbers to solve real-world and mathematical problems.

    1.4: Understand and apply the concepts of comparing and ordering to rational numbers.

    1.4.1: Interpret statements using less than (<), greater than (>), less than or equal to (≤), greater than or equal to (≥), and equal to (=) as relative locations on the number line.

    1.4.2: Use concepts of equality and inequality to write and explain real-world and mathematical situations.

    1.5: Extend prior knowledge to translate among multiple representations of rational numbers (fractions, decimal numbers, percentages). Exclude the conversion of repeating decimal numbers to fractions.

    2: Ratios and Proportional Relationships

    2.1: Compute unit rates, including those involving complex fractions, with like or different units.

    2.2: Identify and model proportional relationships given multiple representations, including tables, graphs, equations, diagrams, verbal descriptions, and real-world situations.

    2.2.1: Determine when two quantities are in a proportional relationship.

    2.2.2: Recognize or compute the constant of proportionality.

    2.2.3: Understand that the constant of proportionality is the unit rate.

    2.2.4: Use equations to model proportional relationships.

    2.2.5: Investigate the graph of a proportional relationship and explain the meaning of specific points (e.g., origin, unit rate) in the context of the situation.

    2.3: Solve real-world and mathematical problems involving ratios and percentages using proportional reasoning (e.g., multi-step dimensional analysis, percent increase/decrease, tax).

    3: Expressions, Equations, and Inequalities

    3.1: Apply mathematical properties (e.g., commutative, associative, distributive) to simplify and to factor linear algebraic expressions with rational coefficients.

    3.2: Recognize that algebraic expressions may have a variety of equivalent forms and determine an appropriate form for a given real-world situation.

    3.3: Extend previous understanding of Order of Operations to solve multi-step real-world and mathematical problems involving rational numbers. Include fraction bars as a grouping symbol.

    3.4: Apply the concepts of linear equations and inequalities in one variable to real-world and mathematical situations.

    3.4.2: Write and solve multi-step linear equations that include the use of the distributive property and combining like terms. Exclude equations that contain variables on both sides.

    3.4.3: Write and solve two-step linear inequalities. Graph the solution set on a number line and interpret its meaning.

    3.4.4: Identify and justify the steps for solving multi-step linear equations and two-step linear inequalities.

    3.5: Understand and apply the laws of exponents (i.e., product rule, quotient rule, power to a power, product to a power, quotient to a power, zero power property) to simplify numerical expressions that include whole-number exponents.

    4: Geometry and Measurement

    4.1: Determine the scale factor and translate between scale models and actual measurements (e.g., lengths, area) of real-world objects and geometric figures using proportional reasoning.

    4.4: Investigate the concept of circles.

    4.4.2: Understand that the constant of proportionality between the circumference and diameter is equivalent to π.

    4.4.3: Explore the relationship between circumference and area using a visual model.

    4.4.4: Use the formulas for circumference and area of circles appropriately to solve real-world and mathematical problems.

    4.5: Write equations to solve problems involving the relationships between angles formed by two intersecting lines, including supplementary, complementary, vertical, and adjacent.

    4.6: Apply the concepts of two- and three-dimensional figures to real-world and mathematical situations.

    4.6.1: Understand that the concept of area is applied to two-dimensional figures such as triangles, quadrilaterals, and polygons.

    4.6.2: Understand that the concepts of volume and surface area are applied to three-dimensional figures such as cubes, right rectangular prisms, and right triangular prisms.

    4.6.3: Decompose cubes, right rectangular prisms, and right triangular prisms into rectangles and triangles to derive the formulas for volume and surface area.

    4.6.4: Use the formulas for area, volume, and surface area appropriately.

    5: Data Analysis, Statistics, and Probability

    5.1: Investigate concepts of random sampling.

    5.1.1: Understand that a sample is a subset of a population and both possess the same characteristics.

    5.1.2: Differentiate between random and non-random sampling.

    5.1.3: Understand that generalizations from a sample are valid only if the sample is representative of the population.

    5.1.4: Understand that random sampling is used to gather a representative sample and supports valid inferences about the population.

    5.2: Draw inferences about a population by collecting multiple random samples of the same size to investigate variability in estimates of the characteristic of interest.

    5.3: Visually compare the centers, spreads, and overlap of two displays of data (i.e., dot plots, histograms, box plots) that are graphed on the same scale and draw inferences about this data.

    5.4: Compare the numerical measures of center (mean, median, mode) and variability (range, interquartile range, mean absolute deviation) from two random samples to draw inferences about the populations.

    5.5: Investigate the concept of probability of chance events.

    5.5.1: Determine probabilities of simple events.

    5.5.4: Understand that a probability closer to 1 indicates a likely chance event.

    5.5.5: Understand that a probability close to ½ indicates that a chance event is neither likely nor unlikely.

    5.5.6: Understand that a probability closer to 0 indicates an unlikely chance event.

    5.6: Investigate the relationship between theoretical and experimental probabilities for simple events.

    5.6.1: Determine approximate outcomes using theoretical probability.

    5.6.2: Perform experiments that model theoretical probability.

    5.6.3: Compare theoretical and experimental probabilities.

    5.7: Apply the concepts of theoretical and experimental probabilities for simple events.

    5.7.3: Perform experiments to test the validity of probability models.

    5.8: Extend the concepts of simple events to investigate compound events.

    5.8.1: Understand that the probability of a compound event is between 0 and 1.

    5.8.2: Identify the outcomes in a sample space using organized lists, tables, and tree diagrams.

    5.8.3: Determine probabilities of compound events using organized lists, tables, and tree diagrams.

    5.8.4: Design and use simulations to collect data and determine probabilities.

    5.8.5: Compare theoretical and experimental probabilities for compound events.


    Multiplying Fractions

    Once your students can add fractions, it’s a simple step to multiply a fraction by a whole number. Just think of ¼ x 3 as ¼ + ¼ + ¼.

    Next, replace the multiplication sign with the word ‘of.’ So ¼ x 3 becomes “one fourth de three.” This connects fraction multiplication to whole number multiplication. 3 x 2 means three (groups) of two. So it makes sense for ⅓ x 4 to be one third of (a group of) 4.

    It also extends the concept from multiplication de a fraction to multiplication par a fraction, which allows students to solve when both factors are fractions.

    This Google Slides Activity uses visual representations to demonstrate the meaning of fraction multiplication: students slide fraction models to see what happens when we multiply.

    In addition to supporting conceptual understanding, fraction multiplication models show students Pourquoi we multiply numerators and denominators in the algorithm.

    For more on connecting fraction multiplication to whole numbers, review the five meanings of multiplication.

    Dividing Fractions

    Dividing fractions can also be anchored in what students know about whole numbers.

    Start by dividing a fraction by its numerator, such as ⅗ divided by 3. This involves partitive division, in which the divisor determines the number of groups .

    Next, divide a whole number by a fraction. Here we use quotative division, in which the divisor determines the size of each group . Dividing 2 by ⅓, involves splitting both wholes into thirds (divisor = group size), and counting the total groups (quotient = number of groups). This illustrates why we multiply by the denominator when dividing by a fraction.

    Quotative division is also useful for dividing a fraction by a fraction, but only in some cases. To divide ⅔ by ⅓, simply create 2 groups of ⅓ each.

    But what about ⅓ divided by ¼? It’s possible to imagine splitting a third into groups one fourth in size…but it’s not very intuitive. In this case, I return to partitive division and use what I call the “ghost copies” strategy.

    If I were to divide 8 by 2 partitively, I am changing one group of 8 into two new groups, with four in each group. If, instead, I divide 8 by ½, I’m turning one group of 8 into one half of a group . To create one whole group, I have to make a ghost copy of my starting value (dividend).

    Le ghost copies strategy can be extended for quotients like ½ ÷ ⅓. Treat ½ as ⅓ of a complete group . Thus, we add two ghost copies of ½ to make one whole group, resulting in 1½.

    The five meanings of multiplication is also useful for helping students with fraction division. Each meaning of multiplication, in reverse, applies to division.

    Equivalent Fractions

    Equivalent fractions may be the trickiest aspect of fraction operations. It’s hard to connect it to whole numbers, as there’s no other whole number equivalent: Eight is just eight, there’s no whole number equivalent to 8.

    But a fraction like ⅓ can also be written as 2/6 or 10/30, and still have the same value. In fact, you could argue that equivalence is why we use fractions in the first place.

    When students ask “why do we need both fractions and decimals,” a great answer is that fractions allow us to divide whole numbers into any size parts we want. With decimals, we are limited to factors of ten.

    But I’m including equivalence here for two reasons. First, it’s critical to many later applications of fractions. Simplifying fractions and adding unlike denominators require converting equivalent fractions. As do decimal and percent conversions, working with proportions, and finding slope. The list goes on.

    The second reason is that fraction multiplication can be used to teach equivalent fractions.

    I teach fraction conversion as multiplying by one . To find an equivalent for ½, I can multiply by 3/3 (aka one), creating 3/6.

    Students who can use area models to multiply fractions should connect the idea of multiplying by ⅓ to the idea of multiplying by 3/3. Both visually, and with the “multiply across” algorithm.


    4.19: Solve Equations with Fractions (Part 2) - Mathematics

    Simplify each of the following as much as possible. Show All Solutions Hide All Solutions

    All of these problems make use of one or more of the following properties. egin & = & <>> & hspace <0.5in>& displaystyle frac<<>><<>> & = & <>> = displaystyle frac<1><<<>>>> > ight)^m> & = &<>> & & & = & 1,>p e 0 ight)^n> & = & & & > ight)^n> & = & displaystyle frac<<>><<>>\ > & = & displaystyle frac<1><<>> & & displaystyle frac<1><<>>> & = & displaystyle > ight)^< - n>> & = & displaystyle

    > ight)^n> =displaystyle frac<<>><<>> & & & & end

    This particular problem only uses the first property.

    Remember that the (y)’s in the last two terms can’t be combined! You can only combine terms that are products or quotients. Also, while this would be an acceptable and often preferable answer in a calculus class an algebra class would probably want you to get rid of the negative exponents as well. In this case your answer would be.

    The 2 will stay in the numerator of the first term because it doesn’t have a negative exponent.

    Not much to this solution other than just adding the exponents.

    Note that you could also have done the following (probably is easier….).

    In the second case I first canceled an (x) before doing any simplification.

    In both cases the 2 stays in the denominator. Had I wanted the 2 to come up to the numerator with the (x) I would have used ( ight)^5>) in the denominator. So, watch parenthesis!

    There are a couple of ways to proceed with this problem. I’m going to first simplify the inside of the parenthesis a little. At the same time, I’m going to use the last property above to get rid of the minus sign on the whole thing.

    Now bring the exponent in. Remember that every term (including the 2) needs to get the exponent.

    Recall that ( ight)^3> e + ) so you can’t go any further with this.

    Don’t make this one harder than it has to be. Note that the whole thing is raised to the zero power so there is only one property that needs to be used here.


    Math 2

    Numeration

    Identify and write 0&ndash9,999 number words: zero to nine hundred ninety-nine

    Number Sense

    Place value: thousands/hundreds/ tens/ones 10 more/10 less 100 more/100 less even/odd numbers round to the nearest ten and hundred compare with < and > expanded form Ordinals: first&ndashtwentieth Patterns sequencing: before, after, between number line

    Counting

    Count by 1s, 5s, 10s, and 100s by 2s to 60 by 3s to 30 by 4s to 40

    Une addition

    100 basic facts (using fact families and other strategies) 4-digit addends vertical form addition rename 10 ones as 1 ten, 10 tens as 1 hundred, 10 hundreds as 1 thousand money word problems strategies Order Principle, Zero Principle, Grouping Principle

    Soustraction

    100 basic facts (using fact families and other strategies) Three- and four-digit minuend and subtrahend rename 1 ten as 10 ones, 1 hundred as 10 tens, 1 thousand as 10 hundreds money Word problems take-away, comparison, missing addend strategies Zero Principle

    Multiplication

    Repeated addition array number line equation vertical form factors: 0&ndash5, 10 word problems Order Principle, Identity Principle, Zero Principle

    Division

    Equal sets equation missing factor divisor: 1&ndash5 word problems

    Algebra Readiness

    Equation missing addend missing factor Order Principle, Grouping Principle, Zero Principle

    Fractions

    Equal parts halves to tenths part of a set fair share compare with common denominators compare with 1 as the numerator

    Decimals

    Géométrie

    Plane figures: circle, square, triangle, rectangle, pentagon, hexagon, oval sides, vertices similar, congruent symmetry slides, flips, turns Solid figures: sphere, cylinder, rectangular prism, cube, cone, pyramid faces, edges, vertices, curves Lines: horizontal/vertical parallel/intersecting Area perimeter patterns

    Estimation

    Round to nearest ten and hundred Length: inch, foot, yard centimeter, meter Weight: more than/less than 1 pound, 1 ounce Mass: more than/less than 1 kilogram about 1 gram/more than 1 gram Capacity: more than/less than 1 cup, 1 pint, 1 quart, 1 gallon more than/less than 1 liter

    Measurement

    Length: inch, foot, yard centimeter, meter Capacity: cup, pint, quart, gallon liter Weight: ounce, pound Mass: gram, kilogram Temperature: Fahrenheit Celsius Measuring tools: ruler, scale, thermometer, cup, liter Time: to five-minute interval A.M./P.M. elapsed time Calendar: day, week, month, year Money: penny, nickel, dime, quarter, half-dollar, one dollar

    Problem Solving

    Word problems graphs tables charts map skills probability money

    Statistics & Graphs

    Pictograph bar graph coordinate graph line graph circle graph tables charts tallies

    Calculators


    If you want to try to calculate how deadly this pandemic is compared with the flu, you need to divide the number of deaths caused by COVID-19 by the total number of people infected by it. Keep in mind, it’s impossible to know the true denominator, or the total number of infected individuals, in the midst of a pandemic because these numbers change daily, and testing is limited.

    We are basing these fatality estimates on data as of April 2. Based on the most up-to-date statistics from Johns Hopkins, the fatality rate for COVID-19 is 5% – 49,236 divided by 965,246 equals 5%. Currently, the flu fatality rate according to the CDC is 0.1% (62,000 divided by 54,000,000 equals 0.1%). Take a moment to digest these calculations. As of the end of March 2020, the fatality rate for COVID-19 is 50 times greater than the fatality rate for the flu – a drastic difference, but one that may change over time as more data become available.

    Because of these unknowns, the fatality rate could ultimately be lower than early figures because so many infected people were not immediately tested or officially diagnosed. While it may be too early to tell exactly how much deadlier than the flu COVID-19 will be, some current estimates suggest COVID-19 may be closer to 10 times more deadly. It’s important to note that researchers around the world have found a broad range of estimates for the fatality rate for COVID-19, which remains unclear.

    To reduce whole number bias, we recommend that everyone consider whether both the numerator and denominator of a fraction have been reported, or whether one or the other was presented in isolation. This can help people avoid making a whole number bias error.

    With the need to make all people take this pandemic seriously, we believe that doing this math right just might save lives.

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    Voir la vidéo: AMK-VALINTAKOE KEVÄT 2020 - millaisia tehtäviä kokeessa on? (Décembre 2021).